Puntweise Gleichheit aus L^2-Integralgleichung folgern?

16.02.2010, 21:21	Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Puntweise Gleichheit aus L^2-Integralgleichung folgern? Hi, mein Problem bezieht sich auf eine Variationsformulierung. Ich habe die Gleichung $\begin{eqnarray} <br /> \int_\Omega \! yv \, dx =\int_\Omega \! uv \, dx \quad \forall v \in L^2(\Omega)<br /> \end{eqnarray}$ und würde daraus gerne auf die Gleichheit $\begin{eqnarray} <br /> y=u \, \mathrm{in} \, \Omega<br /> \end{eqnarray}$ schließen. $\begin{eqnarray} \Omega\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist dabei ein konvexes beschränktes Gebiet. Ist das zulässig? Bzw. welche Voraussetzung fehlt? Lg, der Fuchs
16.02.2010, 21:26	Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Puntweise Gleichheit aus L^2-Integralgleichung folgern? Es sind natürlich $\begin{eqnarray} y,u\inL^2(\Omega) \end{eqnarray}$ .
16.02.2010, 21:27	Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Puntweise Gleichheit aus L^2-Integralgleichung folgern? Es sind natürlich $\begin{eqnarray} y,u \in L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ .
17.02.2010, 00:04	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
<y,v> = <u,v> <==> <y - u,v> = 0. Setze nun v = y - u. EDIT: Übrigens gibt es den Begriff "Punktweise Gleichheit" nicht, weil er kenen Sinn macht.
17.02.2010, 00:50	Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst mal für deine Antwort. Ich hab da auch noch mal ein bisschen drüber nachgedacht und mir ist aufgefallen, dass ich eine punktweise Gleichheit von $\begin{eqnarray} y=u \quad \forall x \in \Omega \end{eqnarray}$ weder benötige, noch fordern kann, da $\begin{eqnarray} L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ -Funktionen nur bis auf Nullmengen gleich sind, d.h. $\begin{eqnarray} y=u \end{eqnarray}$ f.ü. in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ .
17.02.2010, 00:57	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal: "Punktweise Gleichheit von Funktionen" ist sinnlos. Du meinst einfach nur "Gleichheit": Zwei Funktionen f und g sind gleich, wenn ihre Definitionsbereiche Df und Dg gleich sind und für alle x aus Df gilt: f(x) = g(x).
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17.02.2010, 01:38	Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss ich dir glaube ich widersprechen: Betrachte die Funktionen $\begin{eqnarray} f_1 \equiv 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{2}=\left\{ \begin{array}{c}<br /> \begin{array}{cc}<br /> 1 & 0\leq x<1\\<br /> 42 & x=1\end{array}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Die sind als L^2 Funktionen gleich, also $\begin{eqnarray} \int_\Omega \|f_1 - f_2\|^2 = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1] \end{eqnarray}$ , aber punktweise natürlich nicht.
17.02.2010, 02:11	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt für Funktionen weder den Begriff "Punktweise Gleichheit" noch "L²-Gleichheit". Ersetze diese Begriffe jeweils durch "Gleichheit" und "Gleichheit fast überall". Deine angegebenen Funktionen sind nicht gleich, aber fast überall gleich.

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