Basistransformation Ebene zum spiegeln ? |
17.02.2010, 00:18 | Lumalalelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Basistransformation Ebene zum spiegeln ? Ebene: Entwickeln Sie eine Matrix S mit der an der Ebene gespiegelt werden kann. Erzeugen Sie die Matrix mit Hilfe geeigneter Basistransformationen. -------------------------------------------------------------------- Also ich wenn man das Skalarprodukt auf die beiden vektoren anwendet, kommt 0 dabei raus..die Vektoren, die die Ebene aufspannen sind also orthogonal zueinander. Die Matrix müsste nach meiner Vorstellung so aussehen: also einfach die punktrichtungsform als matrix dargestellt (die 0 0 0 Spalte ist quasi der Ortsvektor der ja in diesem fall im Ursprung liegt) Ok ab hier weiß ich nicht mehr weiter...ich habe keine ahnung wie die Basis ausschauen soll die ich brauche um an der Ebene z.B Punkte (Aufgabenteil b) spiegeln zu können. jemand anderes hat mir gesteckt, dass ich die matrix orthonormalisieren soll mit dem Gram-Schmidt - verfahren aber ich komm da nicht wirklich weiter Ich würde mich sehr über Hilfe freuen ! Luma |
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17.02.2010, 01:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht solltest du dir erstmal eine Abbildungsvorschrift für die gewünschte Spiegelung überlegen. Gram-Schmidt kannst du hier übrigens vergessen. |
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17.02.2010, 10:00 | Lumalalelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für deinen Hinweis, WebFritzi Leider bin ich in mathe relativ schwach und weiss mit deiner Antwort ehrlich gesagt nicht so viel anzufangen ^^; (meinst du dass die Spiegelungsmatrix bijektiv werden soll, so dass alle Punkte um die Z-Achse gespiegelt werden ?) also wenn ich w+sste, dass die Ebene quasi die Ebene des karthesischen koordinatensystems beschreibt, müsste ich die gewünscheten Punkte wie z.B einfach mit der Matrix : multiplizieren...die X und die Y Achse sind (da skalarprodukt der beiden Vektoren = 0) orthogonal zueinander...allerdings hängt die Ebene schief im karthesischen koordinatensystems so dass ich eigentlich mit der projektionsformel eine Orthogonale zu diese Ebenen erzeugen müsste um die Punkte richtig durchspiegeln zu können. Ich weiss einfach nicht wie ich das ganze mit einer geeigneten basis und einer matrix realisieren soll |
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17.02.2010, 11:42 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Spiegel (=Ebene) wird von den beiden Vektoren und aufgespannt. Diese beiden Vektoren sind senkrecht. Ein zum Spiegel senkrechter Vektor ist das Kreuzprodukt =(1|1|0). Damit hast du eine orthogonale Basis und kannst jeden Vektor , den du spiegeln willst, als Linearkombination dieser Basis darstellen, also Die Koordinaten kannst du schnell berechnen, wenn du einen originale Vektor gegeben hast. Der gespiegelte Vektor unterscheidet sich vom obigen originalen Vektor nur durch das Vorzeichen im 3.Summenden, denn nur die zum Spiegel senkrechte Komponente wird beim Spiegeln "umgeklappt". Der gespiegelte Vektor lautet also Deine Aufgabe besteht darin, diejenige Abbildungsmatrix A finden, welche das Koordinaten-Tripel des originalen Vektors auf das Koordinaten-Tripel des gespiegelten Vektors abbildet, also oder kurz Ich hoffe, du kannst die zugehörige Matrix A ohne Rechnung sofort ablesen. Damit hast du aber nur die Abbildungsmatrix A bezüglich der obigen Basis , also bezüglich der Koordinaten . Du sollst aber die Abbildungsmatrix bezüglich der natürlichen Basis , , finden. Finde deshalb zunächst die Abbildungsmatrix F, welche die Transformation zwischen der Basis und der natürlichen Basis vermittelt, also Auch hier kannst du F sofort ablesen. Die Koordinaten transformieren sich kontragredient zur Basis, also über die Matrix . Die Koordinatentransformation lautet also bzw. . Einsetzen in die obige Abbildungsgleichung liefert oder umgestellt . Die gesuchte Abbildungsgleichung bezüglich der natürlichen Basis lautet also . Das war die Theorie. Die Rechnung versuche mal allein. |
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17.02.2010, 16:27 | Lumalalelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Anleitung, Ehos ! Ich bin mal deiner Anleitung gefolgt, um die Aufgabe zu lösen. "Deine Aufgabe besteht darin, diejenige Abbildungsmatrix A finden, welche das Koordinaten-Tripel des originalen Vektors auf das Koordinaten-Tripel des gespiegelten Vektors abbildet, also " oder kurz "Ich hoffe, du kannst die zugehörige Matrix A ohne Rechnung sofort ablesen" --> A = (hoffentlich^^) "Damit hast du aber nur die Abbildungsmatrix A bezüglich der obigen Basis , also bezüglich der Koordinaten . Du sollst aber die Abbildungsmatrix bezüglich der natürlichen Basis , , finden. Finde deshalb zunächst die Abbildungsmatrix F, welche die Transformation zwischen der Basis und der natürlichen Basis vermittelt, also: " --> also so wie ich das verstehe, ist der linke Teil der Geichung die transponierte Basismatrix von welcher somit auch identisch mit F ist (die ja lediglich mit der einheitsmatrix multipliziert wird) ---> F = Ist das dann also die gesuchte matrix ? der restliche Teil mit den Umformungen ist mir noch nicht ganz klar, werd mich damit nochmal ein weilchen auseinander setzen eine sache die ich besonders nicht Verstehe ist woher die "- 1) kommt. Hat das etwas mit dem invertierten x3 (für die Spiegelung) zu tun ? Auf alle Fälle nocheinmal vielen Dank für deine Zeit und Mühe ! |
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17.02.2010, 17:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann weißt du doch schon ne ganze Menge. Genau das ist nämlich die gesuchte Matrix!!! Allerdings bezüglich einer anderen Basis. Welche Basis ist das wohl? Wenn du die hast, musst du nur noch die Basistransformationsmatrix bestimmen, deine Matrix damit transformieren und bist fertig. |
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18.02.2010, 10:32 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist richtig, dass die Spiegelmatrix bezüglich der Basis lautet Wie gesagt müssen wir jetzt die Transformationamatrix F finden, welche die Basis auf die natürlichen Basis abbildet, also Wie du richtig gesagt hast, lautet diese Transformationamatrix offenbar Zwischenbemerkung: Du hast gefragt, warum man die Matrix berechnen muss. Antwort: Wenn man allgemein irgend einen Vektor betrachtet und die Basis ändert gemäß , dann muss man natürlich auch die Koordinaten ändern gemäß . Derselbe Vektor lautet dann in der neuen Darstellung . Nun gilt folgendes, was du eigentlich in der Vorlesung gehört haben müsstest: Wenn sich die Basis über die Matrix F transformiert, dann müssen die Koordinaten über die Matrix transformiert werden. (Sieh dir den Beweis nochmals in deinem Skript an. Das ist eine einfache aber wichtige Tatsache.) Diese Matrix habe ich für inseren Fall berechnet: Mit dieser Matrix muss man also die Koordinaten , welche zur Basis gehören auf die Koordinaten transformieren, welche zur natürlichen Basis gehören, also Dies setzt du nun in unsere bekannte Abbildungsgleichung ein und erhälst oder umgestellt mit Das ist die Abbildungsgleichung bezüglich der natürlichen Koordinaten. Nun können wir die Abbildungsmatrix explizit berechnen. Zur Probe kann man diese Matrix A' auf die beiden ursprünglich gegebenen Vektoren und anwenden, welche die Spiegelebene aufspannen. Da diese beiden Vektoren innerhalb der Spiegelebene liegen, darf diese Matrix auf diese Vektoren keinerlei Wirkung haben, also und . Anschaulich bedeutet dies, dass das Spiegelbild eines Striches auf dem Spiegel (z.B. mit einem Filzstift) mit dem Strich übereinstimmt (Bild=Original). Das ist in der Tat der Fall, wie man leicht nachrechnen kann. |
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18.02.2010, 21:06 | Lumalalelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Woah, vielen dank für die ausführlichen Antworten auf meine Fragen, Ehos ! Ich denke ich habe es jetzt verstanden ! Mathe ist leider nicht eine meiner Stärken allerdings sehe ich es auch nicht ein nur stupide Formeln auswendig zu lernen und anzuwenden, ohne die genaue Mechanik zu verstehen. Ich bin jetzt ein gutes Stück klüger...vielen Dank für deine Zeit und Mühen ! @WebFritzi: Auch dir vielen Dank für deine Tipps ! (leider fehlte mir das nötige Basiswissen um mit ihnen was anfangn zu können..was natürlich an mir lag ) |
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