Beweis inverse einer symmetrischen matrix ebenfalls symmetrisch

17.02.2010, 12:29

Max H.

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Beweis inverse einer symmetrischen matrix ebenfalls symmetrisch

Hallo,
wie weise ich am besten nach, dass das inverse einer symmetrischen Matrix Ebenfalls symmetrisch ist? Also es gibt ja erst mal 2 grundlegende Verfahren zum inverse berechnen. Einmal das 1/Det*(...)
und dann Gauß-Jordan. Aber mit welchem bietet es sich an hier zu arbeiten?
Viele Grüße

17.02.2010, 12:46

Ehos

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Eine symmetrische Matrix ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} A \vec x \cdot \vec y=\vec x \cdot A \vec y \end{eqnarray*}$

Bei symmetrischen Matrizen ist es dem Skalarprodukt also egal, ob man die Matrix im 1. oder im 2.Faktor schreibt. In dieser Gleichung setzen wir nun $\begin{eqnarray*} A \vec x=\vec x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \vec y=\vec y' \end{eqnarray*}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray*} \vec x=A^{-1}\vec x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec y=A^{-1}\vec y' \end{eqnarray*}$ . Dann wird die obige Definition zu

$\begin{eqnarray*} \vec x' \cdot A^{-1}\vec y'=A^{-1}\vec x' \cdot \vec y' \end{eqnarray*}$

Das bedeutet aber die Symmetrie der Inversen.

17.02.2010, 12:48

pseudo-nym

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Für eine symmetrische Matrix gilt
$\begin{eqnarray*} A = A^T \end{eqnarray*}$
Daraus kann man die Aussage bequem schließen.

17.02.2010, 13:12

Max H.

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@Ehos so richtig verstehe ich deinen Gedankengang leider nicht. Was ist x, und was y?
@pseudo-nym wie kann ich das daraus folgern?

Ps. Ich studiere nicht Mathematik, sondern nur Maschinenbau.

17.02.2010, 13:34

pseudo-nym

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Invertier doch mal auf beiden Seiten.

17.02.2010, 13:40

Max H.

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$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber reicht das als Beweis zu? Da muss ich ja schon wieder voraussetzen, dass das so ist.

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17.02.2010, 13:43

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Max H.
Da muss ich ja schon wieder voraussetzen, dass das so ist.

Du musst nichts vorraussetzen außer das A symmetrisch ist um zu diesem Ergebnis zu kommen.

Und du bist auch noch nicht fertig. Formulier doch mal die Aussage "Die Inverse von A ist symetrisch" in einer Gleichung analog zu meinem ersten Post.
Dann weißt du zu welchem Ziel zu kommen musst.

17.02.2010, 13:49

Max H.

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$\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1}=((A^T)^{-1})^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1}=((A^T)^{T})^{-1}=A^{-1} \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 13:58

pseudo-nym

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Sei doch so nett und erkläre was du da tust und rotz mir nicht einfach irgendwelche Gleichungen entgegen. Wenn das das Kriterium für Symmtetrie der Inversen sein soll ist das jedenfalls falsch.

17.02.2010, 14:01

Max H.

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Gut also ich bin von der Gleichung ausgegangen.

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann wolte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist,

also:

$\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1}^{T} \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 14:11

pseudo-nym

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Okay, das kann man so machen. Du musst aber zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

17.02.2010, 14:22

Max H.

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Also nochmal von vorne.

$\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ ...A ist symmetrisch
$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T=(A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ ...A^-1 ist symmetrisch

Das dürfte es ja jetzt sein, oder?

17.02.2010, 15:05

pseudo-nym

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Wie die Umformung von der zweiten zur dritten Gleichung gemacht wurde versteh' ich nicht.

Wie du dann aus der dritten Gleichung schließt, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist, kapier ich auch nicht.
Vor allem da $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T=(A^T)^{-1} \Leftrightarrow A=A \end{eqnarray*}$ und die Gleichung somit für aller invertierbaren Matrizen gilt.

Du hast außerdem immer noch nicht das gemacht worum ich dich gebeten habe, nämlich zu formulieren was es heißt das $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

Du musst wissen wohin du willst, bevor du anfängst umzuformen.

17.02.2010, 15:10

Max H.

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Das A^-1 symmetrisch ist müsste sein:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^{-1})^T \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 15:12

pseudo-nym

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Richtig und ausgehend vom zweiten Schritt deiner Umfourmungen solte es doch wohl kein Problem mehr sein das zu zeigen.

17.02.2010, 16:07

Max H.

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Also einfach mit

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^{-1})^T=(A^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 18:11

WebFritzi

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@pseudo-nym: Du setzt hier voraus, dass folgendes für invertierbare Matrizen bekannt ist: $\begin{eqnarray*} (B^T)^{-1} = (B^{-1})^T. \end{eqnarray*}$ Hat Max dies in seiner Vorlesung noch nicht bewiesen bekommen, dann darf er es auch nicht anwenden.

17.02.2010, 18:22

Max H.

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Genau das meinte ich, dass ich das voraussetzen muss. Also in der Vorlesung haben wir gesagt bekommen, dass das so ist. Aber bewiesen haben wir es nicht. Wir beweisen so und so leider sehr wenig in der Vorlesung.

17.02.2010, 18:23

pseudo-nym

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Ich weiß schon, aber ich wollte erst mal einen Beweis fertigstellen, bevor wir uns in Nebenrechnungen verfangen.

@max:

Wenn du nicht alles rückwärts aufschreiben würdest, wäre das (bis auf WebFritzis Einwand) schon okay.

$\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{-1}=(A^{-1})^T \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

18.02.2010, 09:28

Ehos

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Hallo Max H.
Du hast eine symmetrische Matrix A definiert als $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ . Ich habe in meiner Antwort vom 17.02.10 eine andere Definition angewendet:

Def.: Eine Matrix ist symmetrisch, wenn für das Skalarprodukt zweier beliebige Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x, \vec y \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} A \vec x \cdot \vec y=\vec x \cdot A\vec y \end{eqnarray*}$

Diese Definition einer symmetrischen Matrix erscheint zwar auf den ersten Blick etwas umständlich, sie ist aber beweistechnisch besser verwendbar als die Definition $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ . Damit ist der obige Beweis von mir einfach verständlich.

18.02.2010, 10:29

Mazze

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1} =( A^{-1})^T \end{eqnarray*}$ kann man übrigens in einer Zeile beweisen. Der gesamte Beweis ist dann auch nur ein Zweizeiler, von daher sehe ich das nicht so wenn Du von

Zitat:

sie ist aber beweistechnisch besser verwendbar

sprichst, beide Beweise sind sehr leicht.

18.02.2010, 10:57

Ehos

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@Mazze:
Wie lautet denn dein Beweis der Gleichung $\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T \end{eqnarray*}$ ?

18.02.2010, 11:13

Mazze

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$\begin{eqnarray*} A^T(A^T)^{-1} = I = (A^{-1}A)^T \Leftrightarrow A^T(A^T)^{-1} = A^T(A^{-1})^T \Leftrightarrow (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \end{eqnarray*}$

Schon stets da.

18.02.2010, 11:15

Sly

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Ich antworte mal für Mazze. Es gilt (mit den nötigen Bedingungen)

$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^TA^T = (A\cdot A^{-1})^T = E_n^T = E_n \quad\Rightarrow\quad (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$

/edit: ups sorry, da war ich wohl nen minütchen zu langsam...

18.02.2010, 11:23

Ehos

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@Mazze
@Sly
Danke für die Beweise. Die Formulierung von Sly ist noch etwas einfacher.

18.02.2010, 13:43

WebFritzi

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Oder in einer Zeile:

$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T (A^T)^{-1} = (AA^{-1})^T (A^T)^{-1} = (A^T)^{-1}. \end{eqnarray*}$

24.02.2010, 13:52

Ehos

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Stimmt. Auch gut.

25.02.2010, 18:32

Evelyn89

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Was meint ihr,

wäre das eine Aufgabe, die man in einer Klausur zur Linearen Algebra gestellt bekommen könnte?
Das bezieht sich jetzt auf die Beweisaufgabe von Threadersteller.

Ich bin nur gerade am überlegen, welche Beweise in meiner Klausur gefragt sein könnten.
Unser Prof hat nämlich darauf hingewiesen, dass mindestens eine Beweisaufgabe drankommen wird.

Da einem Beweise nicht immer unter Zeitdruck mal eben schnell gelingen, halte ich es für sinnvoller mir vorher einige anzuschauen.
Deswegen die Frage, ob solch ein Beweis drankommen könnte wie er oben dargestellt ist??
Oder meint ihr das wäre zu einfach?
Könnt ihr mir vielleicht noch sonst einige Beweise nennen, die typisch für die erste LinA-Klausur sind?

Bin jeden sehr dankbar für Ratschläge. smile

smile

25.02.2010, 18:46

sergej88

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Bei mir wurden/werden häufig Beweise aus der Vorlesung genommen bzw welche aus den Übungsaufgaben. Wenn man diese beherrscht, dann läuft es finde ich in der Regel dann auch in der Klausur recht gut.

25.02.2010, 22:16

Evelyn89

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Hmmmm... also wenn ich ehrlich bin, kann ich mir nicht vorstellen, dass in der Klausur genau die gleiche Beweisaufgabe drankommt, wie wir sie schon mal hatten.

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