Homogenes lineares Gleichungssystem

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17.02.2010, 13:04	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenes lineares Gleichungssystem Hey, Ich löse gerade diese Aufgabe: Für welche a besitzt das homogene lineare Gleichungssystem nicht triviale Lösungen. $\begin{eqnarray} (1-a)x_1+2x_2+3x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_1-(4+a)x_2-2x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x_1+2x_2+(1-a)x_3=0 \end{eqnarray}$ Das habe ich dann mit Gauß umgeformt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-a & 2 & 3 \\ 2 & -4-a & -2 \\ 0 & 8+3a & 8-2a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-a & 2 & 3 \\ 0 & -8+3a+a^2 & -8+2a \\ 0 & 8+3a & 8-2a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-a & 2 & 3 \\ 0 & -8+3a+a^2 & -8+2a \\ 0 & 6a+a^2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt hätte ich gesagt 6a+a^2 darf nicht null werden, da das Gleichungssystem sonst unter bestimmt ist. Da komme ich auf 0 und -6. Aber in der Lösung steht das genau anders herum und eine Lösung mehr. Da steht es hat nicht triviale Lösungen, wenn a=0,4,-6. So richtig sehe ich da noch nicht durch.
17.02.2010, 13:11	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde sagen es kann ruhig null werden! Unterbestimmt heißt ja nicht, dass es keine Lösung hat. Unterbestimmt heißt meistens (auch hier), dass es unendlich viele Lösungen hat. Und unendlich viele sind nicht-trivial ^^ Ach und wegen der 4: wenn du die in die zweite zeile einsetzt, wird -8+2a zu null und damit sind die Zeilen 2 und 3 linear abhängig -> unterbestimmt. edit: Jetzt muss man noch untersuchen: Warum kann es hier keine eindeutigen Lösungen geben, die ungleich (0/0/0) sind?
17.02.2010, 13:20	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wieso hat es in allen anderen Fällen nur die triviale Lösung?
17.02.2010, 13:24	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: wir haben jetzt schon alle Fälle behandelt, in denen $\begin{eqnarray} 6a+a^{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -8+2a \end{eqnarray}$ Null werden. Also können wir für alle weiteren (noch zu untersuchenden) Fälle davon ausgehen, dass diese beiden Terme nicht null werden. Was würde das für das LGS bedeuten, wenn sie nicht null sind? edit: Ich schreib mal hier das aktuelle LGS auf: $\begin{eqnarray} \left(1-a\right) \cdot x_1+2 \cdot x_2+3 \cdot x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(-8+3a+a^{2}\right) \cdot x_2 +\left(-8+2a\right) \cdot x_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(6a+a^{2}\right) \cdot x_2=0 \end{eqnarray}$
17.02.2010, 13:30	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es ja, was ich nicht verstehe. Wenn diese nicht 0 sind habe ich doch ein LGS mit 3 Gleichungen, für 3 Unbekannte.
17.02.2010, 13:33	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte mal die dritte Gleichung.
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17.02.2010, 13:38	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja für nicht 0 und nicht -6 kann x_2 nur 0 sein. Aber das ist bei 4 ja auch so. Und Außerdem heißt das ja immer noch nicht, das das Gleichungssystem dann nicht Lösbar ist.
17.02.2010, 13:40	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt setz mal x2 in die zweite Gleichung ein. Was erhältst du so für x3? Und wie siehts dann mit x1 aus?
17.02.2010, 13:43	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Also x2 und x3 werden dann 0. $\begin{eqnarray} (1-a)x_1=0 \end{eqnarray}$ Da wäre ja aber trotzdem für a=1 x_1 beliebig, oder?
17.02.2010, 13:51	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
huch... du hast recht! Das hab ich ganz vergessen... Nein, 1-a darf nicht null sein, da du bei der Umformung nach Gauß ganz sorglos mit (1-a) multipliziert hast! Diesen Fall (a=1) müssen wir also extra am Original-LGS betrachten...
17.02.2010, 13:53	Jana18	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gut ich denke jetzt, dass ich es verstanden habe. Also alle anderen Lösungen führen zwangsweise zur trivialen Lösung.
17.02.2010, 13:56	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so ist es. Ob der Fall a=1 auch dorthin führt, wäre noch zu untersuchen... (er tut's )

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