Stammfunktion einer Wurzel

17.02.2010, 13:56

Liz2103

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Stammfunktion einer Wurzel

Hallo! Ich möchte von folgender Funktion die Stammfunktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \end{eqnarray*}$

Ich habe nun schon wie folgt substituiert:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx=\int\frac{\sqrt{1+sinh(y)^2}}{sinh(y)}\cdot cosh(y)dy\\<br /> <br /> =\int\frac{cosh(y)^2}{sinh(y)}dy =\int\frac{1+sinh(y)^2}{sinh(y)}dy\\<br /> <br /> = \int\frac{1}{sinh(y)}dy+\int\sinh(y)dy\\<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Der rechte Term ist nun kein Problem mehr, da die Aufleitung von sinh bekannt ist. Jedoch weiss ich nicht wie ich jetzt den linken Term weiter umformen kann. Zudem ist da laut Maple noch irgendwo ein Fehler, denn die gesuchte Stammfunktion sollte eigentlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^2}-arctanh(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) \end{eqnarray*}$

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte, bzw. mir meinen Fehler findet. Danke

17.02.2010, 14:25

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
Wenn du solche Stammfunktionen vergleichen willst, braucht es die Integrationskonstanten:
Stammfunktionen können sich durch eine Konstante unterscheiden.

Umformungen mit hyperbolischen und ihren inversen Funktionen sind nicht so einfach, dass
man «vom Schiff» aus sieht, ob Uebereinstimmung vorliegt.

Deine Rechnung stimmt bis jetzt.

17.02.2010, 14:27

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
okay, danke. Dann müsste ich jetzt aber trotzdem noch den linken Term aufleiten. Da hab ich aber leider keine rechte idee wie ich das machen soll, da ich mich mit partieller integration irgendwie immer im kreis drehe. Und durch substituieren krieg ich es erst recht nicht hin. Ideen wie ich weiter machen kann?

17.02.2010, 15:06

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
Ich muss zugeben, dass ich zuwenig flink bin dazu. (Nehme bei Bedarf CAS.)

17.02.2010, 15:12

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
XD tja... leider dürfen wir in der klausur cas auch nicht nutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

hat denn sonst jemand eine Idee? und da ich grade dabei bin hätte ich sonst noch ein anderes Integral, bei dem ich nicht weiss wie ich anfangen soll:

$\begin{eqnarray*} \int log(2-x^2)dx \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 15:14

klarsoweit

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
Betrachte $\begin{eqnarray*} \int 1 \cdot log(2-x^2)dx \end{eqnarray*}$ . Dann sollte es mit partieller Integration gehen.

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17.02.2010, 15:15

riwe

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
ich hätte auch nicht so kompliziert substituiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit $\begin{eqnarray*} u^2=1+x^2 \end{eqnarray*}$ bekommst du

$\begin{eqnarray*} I=\int\! \frac{u^2}{u^2-1} \, du= \int\!(1+ \frac{1}{u^2-1} )\, du \end{eqnarray*}$

edit: ich meine das 1. integral smile

smile

17.02.2010, 15:18

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
@riwe ah ja smile

smile

das scheint mir wirklich leichter zu sein. Danke sehr. @klarsoweit also muss ich dann noch das Integral $\begin{eqnarray*} \int\frac{2x^2}{2-x^2}dx \end{eqnarray*}$ lösen oder?!

(das andere Term ist ja klar)

17.02.2010, 15:24

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
Eine Idee, um 1/sinh x zu integrieren, hätte ich, möchte sie aber nicht nachrechnen:
- Erweitere mit sinh x
- Wende im Nenner den «Pythagoras» an
- Spalte den Bruch in zwei auf mit den Nennern 1+cosh x und 1-cosh x
- Logarithmische Integration

17.02.2010, 15:29

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
@riwe okay das sah so einfach aus, aber irgendwie komm ich auf was anderes, also

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx\\<br /> u^2=1+x^2\\<br /> \int\frac{u}{x}dx\\<br /> 2u du = 1+2x dx\\<br /> dx = \frac{2u}{1+2x}\\<br /> \int\frac{2u^2}{1+2x}du\\<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

und was mach ich nun mit dem letzten x? denn wenn ich das auch ersetze erhalte ich ja wieder eine Wurzel?!

17.02.2010, 15:30

klarsoweit

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RE: Stammfunktion einer Wurzel

Zitat:

Original von Liz2103
@klarsoweit also muss ich dann noch das Integral $\begin{eqnarray*} \int\frac{2x^2}{2-x^2}dx \end{eqnarray*}$ lösen oder?!

Ja.

17.02.2010, 15:38

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
$\begin{eqnarray*} \int log(2-x^2)dx = \int log(\sqrt{2}+x)dx + \int log(\sqrt{2}-x)dx \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 15:46

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
ja das leuchtet ein. [aber dann hab ich trotzdem noch das integral $\begin{eqnarray*} \int log(\sqrt{2}+x)dx \end{eqnarray*}$ zu lösen. Ich weiss mich ob ich mich da jetzt zu doof anstelle.. aber ich finde das ist jetzt irgendwie nciht besser geworden.. da substitution keinen sinn macht wäre es ja am besten partiell zu integrieren, dann muss ich aber das integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{\sqrt{2}+x}dx \end{eqnarray*}$ lösen, bei dem ich auch riegndwie nicht durchseh wie ich das machen soll?!] sorry streicht das.. war nicht gut durchdacht.. denn ich ja doch ganz gut substituieren. ich probiers mal eben.

17.02.2010, 15:52

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
Tipp: Der letzte Integrand ist gebrochen-rational, also Partialbruchzerlegung (was hier nur bedeutet, 1 abzuspalten).

17.02.2010, 16:07

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
also ich habe jetzt mit substitution $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{2}+x \end{eqnarray*}$ die beiden Integrale berechnet. ich erhalte dann insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \int log(\sqrt{2}+x)dx=(\sqrt{2}+x)\cdot ln(\sqrt{2}+x)-2\cdot x-(\sqrt{2}-x)\cdot ln(\sqrt{2}-x) \end{eqnarray*}$

was zwar für die beiden Auseinander gezogenen Integrale richtig ist, aber laut cas nicht für mein ursprüngliches Integral?!

17.02.2010, 16:16

wisili

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RE: Stammfunktion einer Wurzel

Zitat:

Original von Liz2103
$\begin{eqnarray*} \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx\\<br /> u^2=1+x^2\\<br /> \int\frac{u}{x}dx\\<br /> 2u du = 1+2x dx\\ \end{eqnarray*}$

Da war die letzte Zeile falsch, und keiner hat es gemerkt: 2u du = 0+2x dx

17.02.2010, 16:20

Liz2103

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RE: Stammfunktion einer Wurzel
uups. ja stimmt. alles klar... dann komme ich ja doch ncoh auf das richtige. super. vielen Dank

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