Bestimmung des Grenzwertes

17.02.2010, 13:57

Chris321

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Bestimmung des Grenzwertes

Hi,

ich habe extreme Probleme mit Aufgabe wie:

Bestimmen Sie im Falle der Existenz folgende Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2^n+3*4^n}{3*(3^n+4^n)} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich grundsätzlich bei solchen Aufgabe, bei der die Variable ein Exponent ist vor? Ich bin nicht an der speziellen Lösung dieser Aufgabe interessiert, sondern möchte nach Abschluss des Themas fähig sein, solche Aufgaben selber zu lösen.

Wäre nett, wenn mir jemand (in verständlicher Sprache) helfen könnte.

Viele Grüße,

Chris

17.02.2010, 14:02

Liz2103

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RE: Bestimmung des Grenzwertes
Hey! Am besten du Klammerst $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ aus. Also wenn es möglich ist, immer den Summanden mit der größten Basis ausklammern, denn dann hast du lauter Nullfolgen im Bruch.

17.02.2010, 14:02

klarsoweit

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RE: Bestimmung des Grenzwertes
Schaue dir alle Terme an, in denen ein n drinsteckt. Was machen diese? Welcher davon dominiert?

EDIT: mit dem Beitrag von Liz2103 ist meine Antwort obsolet. traurig

traurig

17.02.2010, 14:03

wisili

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RE: Bestimmung des Grenzwertes
Ein «grundsätzliches» Vorgehen gibt es wohl nicht. Aber man kann Erfahrungen sammeln.
Dein Beispiel ist so eine Möglichkeit. Im Zähler und Nenner hat es je zwei exponentielle Funktionsterme,
die gegen unendlich streben. Kürze den Bruch (künstlich!) durch den am schnellsten wachsenden dieser Terme.
(sorry, zu spät, andere waren schneller).

17.02.2010, 14:05

Liz2103

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XD ich war schneller. Aber eigentlich habe ich schon viel zu viel verraten.. Naja aber Prinzip sollte bei so vielen Antworten klar sein oder?

17.02.2010, 14:14

Chris321

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Ganz im ernst, ich fühl mich grad schon ziemlich dumm.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} 4^{n} \end{eqnarray*}$ ausklammer, dann erhalte ich doch: $\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{2^n}{4^n}+3)4^n }{(1+\frac{3^n}{4^n})*4^n } \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Und wenn das richtig ist (was ich glaube), dann weiß ich wirklich nicht, wie es weiter geht :/ Okay, vllt noch durch 4^n kürzen. Aber dann? Also, ich will hier niemanden verarschen. Ich verstehs grad wirklich nicht.

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17.02.2010, 14:15

Liz2103

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jetzt kannst du erstmal 4^n kürzen. und dann kannst du dir die einzelnen summanden aschauen. wogegen konvergieren diese?

und schreib $\begin{eqnarray*} \frac{3^n}{4^n}=(\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 14:21

Chris321

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Ja $\begin{eqnarray*} \infty + 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 + \infty \end{eqnarray*}$ .

Fällt das $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dann weg und es bleibt 3? Oder ist es umgekehrt, und die 3 spielt, da wir ja bei unendlich sind, keine Rolle?

17.02.2010, 14:23

Liz2103

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nein, die grenzwerte sind nicht richtig. Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{4})^n \end{eqnarray*}$ ist 0. Da die Basis ja kleiner als 1 ist.

17.02.2010, 14:27

Chris321

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Aber würde ich dann denn nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{1} \end{eqnarray*}$ erhalten? Das Ergebnis in der Lösung ist nämlich 1

17.02.2010, 14:29

Liz2103

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dir ist auch unterwegs eine 3 verloren gegangen. Die fehlt im nenner noch.

17.02.2010, 14:34

Chris321

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Oh, tatsächlich. Vielen Dank! Werde mich jetzt mal selbst an einigen Aufgaben üben.

Danke für eure Hilfe!

Gruß,

Chris

17.02.2010, 14:54

Chris321

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Okay, also eine Aufgabe hab ich geschafft, worüber ich echt froh bin. Bei dieser hier, weiß ich jedoch wieder nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2-2n+3} \end{eqnarray*}$

Hilft es mir zu wissen, dass unter der Wurzel vllt (keine Ahnung, ob das für die Aufgabe nützlich ist) $\begin{eqnarray*} (n-1)^{2}+2 \end{eqnarray*}$ steht?

17.02.2010, 14:56

Liz2103

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also ich weiss es jetzt nicht so genau, aber ich würde mal annehmen, das es hilfreich ist sich einen bruch zu konzipieren. also erweitere den term so, dass im nenner dann die wurzeln wegfallen würden, dann müsstes du eigentlich wieder was ausklammern können.

17.02.2010, 14:58

Liz2103

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doch das klappt. also versuch mal einen Bruch zu erzeugen.

17.02.2010, 15:01

Kühlkiste

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Erweitern gemäß 3. bin. Formel hilft hier:

$\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2-2n+3}=\frac{2n-3}{n+\sqrt{n^2-2n+3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch n ausklammern und kürzen - fertig!

17.02.2010, 15:02

mYthos

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Zitat:

Original von Liz2103
...
... also erweitere den term so, dass im nenner dann die wurzeln wegfallen würden, ...

Im Zähler!

mY+

17.02.2010, 15:04

Chris321

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Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2-2n+3}} -1 \end{eqnarray*}$

Angenommen, ich hätte als Exponenten n+2 im Zähler und 2n-2 im Nenner, bzw. allgemeiner, verschiedene Produkte/Summen mit n, wird dann trotzdem nur der Exponent n ausgeklammert?

War wohl etwas langsam, sorry. Wie siehts mit meiner anderne Frage aus?

17.02.2010, 15:14

Liz2103

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ich kann grade nicht erkennen was du da gemacht hast?! Du solltest eigentlich den Term rausbekommen den Kühlkiste hingeschrieben hat. und deine nachfolgende frage

Zitat:

Angenommen, ich hätte als Exponenten n+2 im Zähler und 2n-2 im Nenner, bzw. allgemeiner, verschiedene Produkte/Summen mit n, wird dann trotzdem nur der Exponent n ausgeklammert?

habe ich leider auch nicht verstanden sorry.

17.02.2010, 15:16

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Chris321
Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2-2n+3}} -1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Zitat:

Original von Chris321
Angenommen, ich hätte als Exponenten n+2 im Zähler und 2n-2 im Nenner, bzw. allgemeiner, verschiedene Produkte/Summen mit n, wird dann trotzdem nur der Exponent n ausgeklammert?
War wohl etwas langsam, sorry. Wie siehts mit meiner anderne Frage aus?

verwirrt

Diesen Ausführungen kann ich leider keine sinnvolle Fragestellung entnehmen.
Vielleicht solltest Du das Ganze anhand eines konkreten Beispiels darstellen.

17.02.2010, 15:35

Chris321

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Weiß auch nicht, was ich oben gerechnet hatte...

Wieso kann ich das ganze aber nicht einfach quadrieren? Würde ich dann nicht
$\begin{eqnarray*} n^2-n^{2}-2n+3 \end{eqnarray*}$ erhalten? Auf das Ergebnis von Kühlkiste komm ich nicht :/

Ja, war wohl etwas dämlich formuliert. Meine Freundin ist erkältet und da muss ich öfter zu ihr. Sollte wohl erst die Sätze beenden, bevor ich aufsteh.

Um ein Bsp zu nennen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n+4^n}{3^n+4^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Würde ich da auch einfach 4^n ausklammern?

17.02.2010, 15:40

Liz2103

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Zitat:

Wieso kann ich das ganze aber nicht einfach quadrieren? Würde ich dann nicht $\begin{eqnarray*} n^2-n^{2}-2n+3 \end{eqnarray*}$ erhalten?

na weil dir diese Umformung nicht weiter hilft. Außerdem hast du falsch quadriert, da müsste die binomische formel angewendet werden (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Um auf den Von Kühlkiste vorgeschlagenen Term zu kommen, solltest du dir folgende Formel zur Hilfe nehmen (a-b)*(a+b)=a^2-b^2

Nun solltest du es eigentlich schaffen. und zu deiner letzten frage, ja. Schreib doch mal hin was passieren würde wenn du 4^n ausklammerst.

17.02.2010, 15:47

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Chris321
Weiß auch nicht, was ich oben gerechnet hatte...

Wieso kann ich das ganze aber nicht einfach quadrieren?

Keiner hindert Dich daran. Aber wenn Du das tust dann mach es richtig und beachte: $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Chris321
Würde ich dann nicht
$\begin{eqnarray*} n^2-n^{2}-2n+3 \end{eqnarray*}$ erhalten? Auf das Ergebnis von Kühlkiste komm ich nicht :/

Die 3. bin. Formel (die ich hier mal ganz frech als bekannt voraussetze Augenzwinkern

Augenzwinkern

) lautet $\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \end{eqnarray*}$

Also insbesondere: $\begin{eqnarray*} a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}. \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt Du da mal folgendes ein: $\begin{eqnarray*} a=n \ \mbox{und} \ b=\sqrt{n^2-2n+3}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Chris321
Um ein Bsp zu nennen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n+4^n}{3^n+4^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Würde ich da auch einfach 4^n ausklammern?

Ja, genau.

Edit: Offenbar zu langsam traurig

traurig

- aber doppelt hält besser!

17.02.2010, 16:19

Chris321

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Die dritte binomisch Formel kannte ich^^ Habs jetzt auch raus. Hatte es davor aber falsch gemacht.

Wenn ich bei $\begin{eqnarray*} \frac{2^n+4^n}{3^n+4^{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ ausklammer, erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2^n}{4^n}+1}{\frac{3^n}{4^n}+1^{1+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Hab versucht das den Bruch in Klammern mit hoch n zu schreiben, wie man es mir geraten hat, aber habs nicht hinbekommen. Irgendwie glaube ich nicht, dass 1^(1+1) stimmt

17.02.2010, 16:24

Liz2103

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nein denn es gilt $\begin{eqnarray*} 4^{n+1}=4\cdot 4^n \end{eqnarray*}$ . der rest stimmt.

17.02.2010, 16:29

Chris321

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Verstehe. Vielen Dank für eure Mühe und eure Zeit!

Gruß,

Chris

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