Ungleichung zeigen

18.10.2006, 11:30	Coach	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen kann mir bitte wer bei folgendem beispiel behilflich sein??? es seien a1, a2, ...., an positive Zahlen. Man beweise: $\begin{eqnarray} (a1 + a2 + an) ( \frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + \frac{1}{an}) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ Danke! Edit von Stefan: Zeilenumbrüche innerhalb der LaTeX-Tags entfernt.
18.10.2006, 12:12	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Titel geändert Wo hakts denn? Wie wärs erstmal mit einer eigenen Idee?
18.10.2006, 12:27	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung zeigen soll das $\begin{eqnarray} (a_1 + a_2 + ... + a_n) \cdot ( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... +\frac{1}{a_n}) \geq n^{2} \end{eqnarray}$ sein? dann schreibs mal als produkt von summen auf, vllt. hilft das weiter. mfG 20
18.10.2006, 20:11	Coach	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung zeigen ich habs bisher so versucht ... I. Voraussetzung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k} \geq \frac{n^{2} }{\frac{n(n+1)}{2} } \end{eqnarray}$ ich hab also das das n² durch das (a1 + a2 + ... + an) dividiert $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k} \geq \frac{2n^{2}}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ Doppelbruch auflösen ... I. Basis: n = 1 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{1} \geq \frac{2}{1(2)} = 1 \end{eqnarray}$ I. Behauptung: n -> n + 1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k} \geq \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ I. Schritt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k} \geq \frac{2n^{2} }{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k} \geq \frac{2n^{2}+n}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ und jetzt weiss ich nicht weiter ... passt das wohl soweit??? ... danke für eure hilfen ... lg
18.10.2006, 20:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt aber eine völlig andere Aufgabe: Auf einmal gilt (oBdA) $\begin{eqnarray} a_i = i \end{eqnarray}$ . Warum sollte allgemein $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ gelten? Gruß, therisen
18.10.2006, 20:44	coach	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ist denn mit (a1 + a2 + ... + an) nicht (1 + 2 + ... + n) gemeint??? weil (1 + 2 + ... + n) ist ja $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ oder ist da nur irgendeine Folge gemeint??? wie z.B. (3 + 5 + 11 ...) ich bin wirklich ein wenig überfordert ... hab mit dem "zeugs" noch nicht viel zu tun gehabt ... danke ...
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18.10.2006, 20:57	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst nur du beantworten Wenn auf deinem Aufgabenblatt $\begin{eqnarray} a_1, \ldots, a_n \end{eqnarray}$ steht, ist damit im allgemeinen nicht $\begin{eqnarray} 1, \ldots, n \end{eqnarray}$ gemeint. Es muss nur $\begin{eqnarray} a_i > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ gelten (mehr ist nicht verlangt). Gruß, therisen
18.10.2006, 21:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Coach Ist dir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bekannt, besser gesagt: Darfst du sie hier verwenden?
19.10.2006, 21:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben (hat nichts mit Analysis direkt zu tun)

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