Summenkonvergenz/Indexverschiebung (einfach)

17.02.2010, 17:15	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenkonvergenz/Indexverschiebung (einfach) Hallo, ich rechne im Moment alte Aufgaben nach (von denen ich nichtmehr den Rechenweg aber das Ergebnis habe) und hänge da an der Indexverschiebung bei Reihen. Ich find den Rechenfehler nicht, kann mir sagen was an der Rechnung falsch ist? $\begin{eqnarray} \Sigma_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n-1}=\Sigma_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n+1}=(\frac{1}{3})\Sigma_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n}\rightarrow(\frac{1}{3})\frac{1}{1-(\frac{1}{3})^{3}}=(\frac{1}{3})\frac{1}{\frac{26}{27}}=\frac{1}{3}\frac{27}{26}=\frac{9}{26} \end{eqnarray*}$ Das korrekte Ergebnis lautet: 3/26! Konvergenz wird vorrausgesetzt!
17.02.2010, 17:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenkonvergenz/Indexverschiebung (einfach) Im ersten Schritt, wenn du den Index shiftest, kommt als Exponent 3(n+1)-1 hin, und das ist nicht 3n+1.
17.02.2010, 17:22	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super danke. Nur für die Vollständigkeit falls jemand später auf den Thread stößt, hier die Lösung: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n+2} = \frac{1}{9} \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^{3n}\rightarrow(\frac{1}{9})\frac{1}{1-(\frac{1}{3})^{3}} = (\frac{1}{9})\frac{1}{\frac{26}{27}} = \frac{1}{9}\frac{27}{26} = \frac{3}{26} \end{eqnarray*}$ EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

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