Untergruppe mit Index p normal

17.02.2010, 17:24	gallus	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe mit Index p normal Hi. Sei G eine p-Gruppe. Warum ist eine Untergruppe vom Index p normal in G? Es gilt doch: $\begin{eqnarray} p^n = \|G\| = [G:U] \cdot \|U\| = p \cdot \|U\| \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|U\| = p^{n-1} \end{eqnarray}$ Angenommen, U ist nicht normal. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Ug \neq gU \end{eqnarray}$ . Wie kommt man denn damit zu dem gesuchten Widerspruch?
17.02.2010, 20:10	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das als einen Spezialfall von "Es sei G eine endliche Gruppe und $\begin{eqnarray} H \subset G \end{eqnarray}$ eine Untergruppe. Zeige: Ist [G : H] der kleinste Primteiler von \|G\|, so ist H ein Normalteiler." auffassen. Diese Aussage kann man beweisen, indem man eine Aktion von H auf G/H betrachtet.

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