Lineare DGL 1. Ordnung

17.02.2010, 18:03

coco10

Lineare DGL 1. Ordnung

Hallo zusammen,
habe eine dringende Frage zur folgenden Funktion

y'+ 2y/1-x^2= 0

dabei handelt es sich um den typ.lineare dgl 1.ordnung.
y'+ y p(x) = r(x)

als spezialfall für r(x)=0 ist die allgemeine formel y(x)= C exp (-P(x))

habe jetzt folgendermaßen umgeformt:
y'+ y (2/1-x^2)

müsste jetzt also die Stammfunktion von 2/1-x^2 berechnen oder?

weiß jemand wie die sein könnte? oder war das vorgehen falsch?

danke!

17.02.2010, 18:32

tmo

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Deine DGL ist also $\begin{eqnarray*} y' + \frac{2y}{1}-x^2=0 \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2010, 18:34

WebFritzi

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von coco10
müsste jetzt also die Stammfunktion von 2/1-x^2 berechnen oder?

Nein, sondern die von 2/(1-x²). Überhaupt hast du überall oben diese Klammern vergessen, so dass alles falsch ist, was du oben schreibst. Achte demnächst auf "Punkt-vor-Strichrechnung".

Zitat:

Original von coco10
weiß jemand wie die sein könnte?

Ja. Stichwort: Partialbruchzerlegung.

17.02.2010, 18:56

coco10

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung
ja, nächstes mal werd ich drauf achten. danke

also 2 / (1+x²)

wie lös ich das denn mit der partialbruchzerlegung?

17.02.2010, 19:07

coco10

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung
habe es grad mal versucht.

könnte ln(x-1) - ln(x+1) stimmen?

danke für den tipp

17.02.2010, 20:50

corvus

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung
^

$\begin{eqnarray*} y' + \frac{2y}{1-x^2}=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von coco10
habe es grad mal versucht.

könnte ln(x-1) - ln(x+1) stimmen?

du solltest diese Aufgabe zu lösen versuchen;

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{y}~\dd y = \int~ [ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ] ~\dd x \end{eqnarray*}$

..
..
->
.... $\begin{eqnarray*} y = ...?... \end{eqnarray*}$
..

18.02.2010, 00:14

WebFritzi

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von corvus
du solltest diese Aufgabe zu lösen versuchen;

Das tut er/sie doch. Wer sagt denn, dass er/sie es mit Trennung der Variablen machen will? Es ist genau richtig, eine Stammfunktion von 2/(1-x²) zu suchen.

Zitat:

Original von coco10
könnte ln(x-1) - ln(x+1) stimmen?

Fast. Du solltest mehr mit den Vorzeichen aufpassen. Oben hast du z.B. auch plötzlich geschrieben 2/(1+x²). Das sah oben noch anders aus...

18.02.2010, 14:49

corvus

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Das tut er/sie doch.
Wer sagt denn, dass er/sie es mit Trennung der Variablen machen will?

hallo WebFritzi , um dir den Durchblick zu erleichtern .. dies:

Aufgabe war:
$\begin{eqnarray*} y' + \frac{2y}{1-x^2}=0 \end{eqnarray*}$

der halbe Lösungsveruch, den coco10 angeboten hat, war:

Zitat:

könnte ln(x-1) - ln(x+1) stimmen?

was wohl nicht zu Unrecht die Idee aufkommen lässt,
dass hier aus dem Ansatz "Trennung der Variablen" gearbeitet wurde.
also :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} dy = \frac{-2}{1-x^2} dx \end{eqnarray*}$
oder eben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} dy = \frac{2}{x^2 - 1} dx \end{eqnarray*}$
was dann zu dieser Integrations-Aufgabe führt(siehe oben) :

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{y}~\dd y = \int~ [ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ] ~\dd x \end{eqnarray*}$

jetzt wirst du vielleicht irgendwann erkennen,
dass deine Bemerkung zur angebotenen Lösung:

Zitat:

Fast. Du solltest mehr mit den Vorzeichen aufpassen

fehl am Platze sein könnte. Wink

was coco10 noch fehlt
ist die Integrationskonstante .. und dann die Gesamt-Lösung y=.. smile

18.02.2010, 18:21

WebFritzi

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung
Lieber corvus,

warum du meinen Namen in rot schreibst, ist mir nicht ganz klar. Vielleicht siehst du stets rot, wenn du ihn siehst... Egal. Deine Überheblichkeit kannst du dir sparen. Folgendes ist dir vielleicht entgangen:

Zitat:

Original von coco10
spezialfall für r(x)=0 ist die allgemeine formel y(x)= C exp (-P(x)).

Das deutet nicht nur darauf hin, sondern zeigt, dass coco keine Trennung der Variablen angewandt hat (welche übrigens bei linearen Differentialgleichungen absolut überflüssig ist).

coco wollte (wie in seinem ersten Beitrag klar ersichtlich wird) eine Stammfunktion von 2/(1-x²) finden und die dann (das P) in seine Formel einsetzen. In seinem Versuch stimmt leider das Vorzeichen nicht.

Um eine Integrationskonstante geht es nicht, denn die hat er in seiner allgemeinen Lösung (s.o.) schon gegeben.

Ob meinen unschlagbaren Argumenten bleibt dir nun nichts anderes übrig als entweder vor Ehrfurcht zu verstummen oder mir kleinlaut zuzustimmen. Augenzwinkern

18.02.2010, 19:00

stereo

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von coco10
spezialfall für r(x)=0 ist die allgemeine formel y(x)= C exp (-P(x)).

Also diese Formel kommt ja nicht von ungefähr, in der Vorlesung haben wir sie mittels Trennung der Variablen bewiesen.

Diese Formeln sind zwar ganz schön (die gibts ja auch für inhomogene DGL), aber ich glaub kaum dass man sich die Formeln merkt. Naja egal.

@ WebFritzi

Ist die Formel dann nicht das Äquivalente zu Trennung der Variablen? Weil da jetzt in dieser Diskussion so ein Wert darauf gelegt wurde, dass hier nicht Trennung der Variablen angewendet werden muss.

18.02.2010, 19:08

WebFritzi

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von stereo
Diese Formeln sind zwar ganz schön (die gibts ja auch für inhomogene DGL), aber ich glaub kaum dass man sich die Formeln merkt. Naja egal.

Ich zumindest merke sie mir.

Die Trennung der Variablen ist mathematisch schlecht untermauert. Für mich ist es ein Verfahren, mit dem man erstmal einen Eindruck von den Lösungen bekommen kann. Bei homogenen linearen DGLs sollte die Lösung eigentlich bekannt sein.

18.02.2010, 22:59

corvus

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von WebFritzi

Lieber corvus,

warum du meinen Namen in rot schreibst, ist mir nicht ganz klar.

na ja, war als Hilfe gemeint: dachte du findest dich so leichter smile

habe möglicherweise den dezenten Hinweis unter deinem Namen:
"Beschränkter Operator" aber falsch interpretiert?

Zitat:

Bei homogenen linearen DGLs sollte die Lösung eigentlich bekannt sein. Freude

Die Trennung der Variablen ist mathematisch schlecht untermauert.

.. nur: deine Lösungsformel Freude

hast du wohl irgendwann durch TdV erhalten ?
oder irre ich mich?

Zitat:

Original von stereo
Diese Formeln sind zwar ganz schön (die gibts ja auch für inhomogene DGL),
aber ich glaub kaum dass man sich die Formeln merkt. Naja egal.

Original von WebFritz :
Ich zumindest merke sie mir.

@ stereo : ich sehe es auch eher wie du:
"Wissen wie" vor "Wissen dass" ..
aber jeder mag selbst entscheiden,
was alles unter seinen Hut passt.

@ WebFritzi , deinen sonstigen "unschlagbaren Argumenten"
kann ich natürlich freudig zustimmen .. klar,..

Zitat:

denn die hat er in seiner allgemeinen Lösung (s.o.) schon gegeben.

18.02.2010, 23:29

giles

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von corvus
.. nur: deine Lösungsformel Freude

hast du wohl irgendwann durch TdV erhalten ?
oder irre ich mich?

Die lässt sich auch recht elegant mit integrierendem Faktor herleiten. Ich merke mir die Formel jedenfalls auch, zur Not ist sie auch leicht herzuleiten.

Ich habe zumindest so eine Vermutung, wieso du mittendrin plötzlich die Lösungsmethode gewechselt hast (scheinst eine Art Fan von TdV zu sein), ist aber didaktisch keine Meisterleistung.

19.02.2010, 06:40

WebFritzi

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RE: Lineare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von corvus
deine Lösungsformel Freude

hast du wohl irgendwann durch TdV erhalten ?
oder irre ich mich?

Ja, du irrst dich. Augenzwinkern

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Lineare DGL 1. Ordnung

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