Analysis Nachfragefunktion, Exponentialfunktion

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apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis Nachfragefunktion, Exponentialfunktion
Hallo, ich soll eine Kurvendisskussion durchführen und muss dazu die Nullstellen von folgender Funktion berechnen:


Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau liegt dein Problem?
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie errechne ich die Nullstellen in diesem Fall, denn das x befindet sich ja im Exponenten.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeichne dir mal die Funktion



Gibt's da eine Nullstelle? Versuch' mal, das dann auf deine Funktionenschar anzuwenden.
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt in deiner Funktion auf jeden Fall eine Nullstelle auf der y-Achse bei 1 und auf der x-Achse vermutlich bei -5.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... das ist gleich dopppelt Unfug. Augenzwinkern

Also "auf der y-Achse bei 1" kann keine Nullstelle sein. Nullstelle bedeutet, dass der Funktionswert 0 wird. Also ist genau dann eine Nullstelle, wenn gilt:



Und dann solltest du dir generell eines einprägen: Die Funktion besitzt keine einzige Nullstelle. Denn kann nicht null werden, egal, was du für x einsetzt! Das solltest du dir unbedingt einprägen, denn das ist wirklich nützlich an vielen Stellen! Präge dir ein:

ist immer ungleich null (genauer sogar immer größer null). Zumindest, wenn dieses "irgendwas" reell ist. Aber in der Schule behandelt ihr wohl auch nur reelle Exponenten, also hast du damit keine Probleme.
 
 
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, aber es muss doch trotzdem eine Lösung geben. Es handelt sich ja hierbei um eine ökonomische Aufgabe. Von der Nachfragefunktion eines Produktes (siehe Ausgangsfunktion), soll geklärt werden, ob es eine Sättigung der Nachfrage gibt. Wie soll ich das jetzt verstehen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin kein Ökonomie-Experte, aber ich kann erkennen, ob eine Funktion(enschar) Nullstellen besitzt oder nicht. Anhand der bisherigen Überlegungen hier solltest du dir leicht überlegen können, ob deine Funktionenschar eine Nullstelle besitzt oder nicht.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von apfel123
Stimmt, aber es muss doch trotzdem eine Lösung geben. Es handelt sich ja hierbei um eine ökonomische Aufgabe.


Tja, die Ökonomie kann unsere wohlgeliebte Mathematik aber trotzdem nicht zu etwas überreden, was die Mathematik einfach besser weiß. Augenzwinkern
Wäre natürlich denkbar, die ökonomische Aufgabe lässt komplexe Argumente zu - manchen wäre es zuzutrauen. Augenzwinkern

Spaß beiseite: Ob mit ökonomischen Hintergrund oder nicht, hier liegt ein mathematisches Problem vor. Und diese Funktion hat keine Nullstelle - ohne "wenn" und "aber". Augenzwinkern
Einzige Möglichkeit wäre natürlich, dass man vor diesem Aufgabenhintergrund sagt: Naja, es kommt ja zumindest sehr nahe an Null!

Das ist aber dann nicht genau gefasst und es gibt dann auf jeden Fall unendlich viele weitere "Lösungen", die sogar noch näher an die Null reichen.

Aber wie gesagt, kurzum: Eine Nullstelle hat deine Funktion im Reellen nunmal leider nicht. Augenzwinkern

air
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hätten wir ja dann geklärt, danke erstmal. Augenzwinkern

Nun soll ich aber noch die Ableitungsfunktion berechnen. Da nehm ich doch am besten die Produktregel, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Produktregel ist prinzipiell möglich, wenn du die Funktion umschreibst, aber besser ist die Kettenregel (ohne die es sowieso nicht geht). Konstante Vorfaktoren werden beim Ableiten ja genau so mitgeschleppt:



Das sagt dir die Faktorregel.

Dein k ist ja nichts anderes als eine konstante Zahl (eben ein fester Parameter).

Mit der Kettenregel wird es sehr einfach.
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme da folgendes Ergebnis raus:
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Damit bin ich nicht so ganz einverstanden. Magst du mal deine Rechenschritte hier aufschreiben? Dann können wir gucken, wo du einen Fehler gemacht hast.

Hast du die Kettenregel angewandt? Was ist denn die innere Ableitung bei dir und wie bist du auf sie gekommen?
apfel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, der Parameter vorne bleibt doch stehen und die e-Funktion ebenfalls (äußere Ableitung). Und bei der inneren Ableitung würde ich jetzt sagen, dass der Bruch wegfällt und beim k+x das x abgeleitet wird (wird 1), also k+1.

Ich wüsste jetzt aber nicht, wie ich das mathematisch korrekt aufschreibe. verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir sind jetzt soweit, dass das (1/k) vorne als konstanter Vorfaktor erhalten bleibt. In der äußeren Ableitung reproduziert sich die e-Funktion selbst, das ist auch klar. Es scheint jetzt also noch an der inneren Ableitung zu scheitern. Betrachten wir die nochmal:



Wie sieht die Ableitung davon aus?

Der Bruch fällt natürlich nicht weg, warum sollte er? Und da steht auch nicht k+x im Exponenten, sondern k*x und das ist was völlig anderes.
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