Richtungsableitung Vektor

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18.02.2010, 14:21	Somersault	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung Vektor Hallo, ich versuchte folgende 'Formel' nachzuvollziehen: $\begin{eqnarray} -\bigtriangledown _{r} \frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|} = \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|^{3}} \end{eqnarray}$ allerdings kam ich nur bis zum zweiten Schritten, den Sprung zu Schritt drei verstehe ich nicht: $\begin{eqnarray} \frac{\partial }{\partial x_{j}}\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|}=-\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|^{2}}\frac{\partial }{\partial x_{j}}\|\vec{r}-\vec{r}'\|=-\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|^{2}}\frac{x_{j}-x{_{j'}}}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|}<br /> \end{eqnarray}$ zudem habe ich bei meinen recherchen folgende Aussage gesehen, die auch teilweise in Musterlösungen von diversen Aufgaben vorkommen. Allerdings ist mir auch hier schleierhaft wie dies zustande kommt: $\begin{eqnarray} \|\vec{r}-\vec{r}'\|=(\|r-r'\|-\|r+r'\|) \end{eqnarray}$ Wäre schön wenn mir wer helfen könnte. Vielen Dank
18.02.2010, 14:31	ajax2leet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Vektor Mit der Definition des Betrags $\begin{eqnarray} \|\vec x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \end{eqnarray}$ sollte das gehen. Edit: Sorry, hab dein Problem falsch verstanden . Siehe also unten...
18.02.2010, 14:34	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Vektor Es ist $\begin{eqnarray} \nabla=\sum_{j}\vec{e}_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \vec{r}=\sum _j \vec{e}_j x_j \end{eqnarray}$ also um die Rechnung zu Ende zu denken $\begin{eqnarray} \sum_{j}\vec{e}_{j}\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|^{2}}\frac{(x_{j}-x{}_{j'})}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|}=\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|^3} \end{eqnarray}$ Allerdings das hier $\begin{eqnarray} \|\vec{r}-\vec{r}'\|=(\|r-r'\|-\|r+r'\|) \end{eqnarray}$ ist ganz einfach falsch. Vielleicht steht da eigentlich etwas anderes? Kannst ja mal etwas mehr Kontext nennen, vielleicht machts dann mehr Sinn.
18.02.2010, 15:33	Somersault	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die schnellen Antworten. Ja, der letzte Schritt ist mir auch verständlich. Den Schritt davor verstehe ich nicht, also die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} \|\vec{r} - \vec{r'}\| \end{eqnarray}$
18.02.2010, 15:44	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so meinst du das mit dem "zweiten" Schritt. Das nennt man aber partielle Ableitungen, nicht Richtungsableitungen. Egal. Also es ist ja $\begin{eqnarray} \|\vec{r}\|=\sqrt{\sum_j x_j ^2} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \|\vec{r}-\vec{r}'\|=\sqrt{\sum_j (x_j - x_j ')^2} \end{eqnarray}$ also ist nach der Kettenregel $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i} \sqrt{\sum_j (x_j - x_j ')^2}=\frac{2 (x_i-x_i ')}{2 \sqrt{\sum_j (x_j - x_j ')^2}} \end{eqnarray}$
18.02.2010, 15:58	Somersault	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, jetzt verstehe ich das, danke. part. Ableitung, ok, merk ich mir. Die andere Gleichung bzw. Formel hat folgenden Zusammenhang: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{Kugel}d^{3}r'\frac{1}{\|\vec{r}-\vec{r'}\|}\\=\int_{0}^{R}dr'r'^{2}\int_{0}^{2\pi }d\varphi '\int_{0}^{\pi}d\vartheta' sin\vartheta'\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'cos\vartheta'}}<br /> \\=2\pi\int_{0}^{R}dr'r'^{2}\int_{-1}^{+1}dcos\vartheta' \frac{d}{dcos\vartheta'}\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'cos\vartheta'}\left ( -\frac{1}{rr'} \right )<br /> \\=-2\pi\frac{1}{r}\int_{0}^{R}dr'r'(\|r-r'\|-\|r+r'\|) \end{eqnarray}$ @Offtopic, das sieht ja doof aus, wie bekommt man das ganze denn linksbündig?
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18.02.2010, 16:13	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte ich mir doch. Das ist das $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Integral ausgewertet, nicht nur eine einfache Umformung. Da fehlt übrigens noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \end{eqnarray}$
18.02.2010, 16:29	Somersault	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. kann ich trotzdem nicht so ganz nachvollziehen dachte das Integral hauts weg wegen $\begin{eqnarray} <br /> dcos\vartheta' \frac{d}{dcos\vartheta'}<br /> \end{eqnarray}$ okey bleibt dann noch $\begin{eqnarray} <br /> 2\pi\int_{0}^{R}dr'r'^{2}\int_{-1}^{+1}d\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'cos\vartheta'}\left ( -\frac{1}{rr'} \right )<br /> \end{eqnarray}$ und hier muss ich wohl ein Brett vor dem Kopf haben.. wie werte ich das Integral aus? -so das ich auf $\begin{eqnarray} \\=-2\pi\frac{1}{r}\int_{0}^{R}dr'r'(\|r-r'\|-\|r+r'\|) \end{eqnarray}$ komme?? Ja, Elektrodynamik^^ ich mags nicht ganz so gern..
18.02.2010, 16:47	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, Elektrostatik. Tja, ich habs immer gesagt. So ein Mist passiert wenn man "über dcostheta integriert". kA was alle so einen Fetisch damit haben, ich kanns nicht leiden. Lös mal das Integral $\begin{eqnarray} \int^\pi _0 \frac{\sin x dx}{\sqrt{a+b\cos x}} \end{eqnarray}$ durch die Substitution $\begin{eqnarray} u=a+b\cos x \end{eqnarray}$ und führe das Ergebnis dann auf deinen Spezialfall zurück.

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