Konvergenz Unendliche Reihe

18.02.2010, 14:27

ajax2leet

Konvergenz Unendliche Reihe

Tag zusammen.
Folgende unendliche Reihe habe ich gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_k := \sum_{k=1}^{\infty}~ \frac{2^k+3^k}{5^k-2^k} \end{eqnarray*}$

Diese soll auf Konvergenz untersucht werden:

Dazu habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} b_k := \frac{2^k+3^k}{5^k-2^k} \leq \frac{3^k+3^k}{5^k-2^k} = \frac{2}{\frac{5^k}{3^k}-1} \end{eqnarray*}$

Wäre nun $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~ b_k \end{eqnarray*}$ eine Konvergente Reihe, dann hätte eine eine Majorante für meine Reihe gefunden.

Ich untersuche also: $\begin{eqnarray*} c_k := \sqrt[k]{|a_k|} = \frac{ \sqrt[k]{2}}{\sqrt[k]{(\frac{5}{3})^k - 1}} \leq \frac{ \sqrt[k]{2}}{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$ Der Grenzwert der Folge ist offenbar < 1 .
Damit gilt nach dem Quotientenkriterium, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~ b_k \end{eqnarray*}$ konvergent und damit eine Majorante zu $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$

Funktioniert das so?

18.02.2010, 14:44

Kühlkiste

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RE: Konvergenz Unendliche Reihe
Etwas umständlich...

Du kannst hier ganz einfach gegen eine konv. geom. Reihe abschätzen.

Klammere dazu erstmal $\begin{eqnarray*} \left(\frac 15\right)^k \end{eqnarray*}$ aus.

In dem Bruch der übrig bleibt kannst Du den Zähler durch 1 nach oben abschätzen und den Nenner durch 1/2 nach unten.

18.02.2010, 14:46

Mazze

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Abgesehen davon ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{3^k+3^k}{5^k-2^k} = \frac{2}{\frac{5^k}{3^k}-1} \end{eqnarray*}$

falsch.

edit :

Habe Deinen Beitrag korrigiert Kühlkiste (also den fehlerhaften Latexbefehl).

18.02.2010, 14:48

Kühlkiste

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RE: Konvergenz Unendliche Reihe
Ups... Vergessen auf 'Vorschau' zu klicken - sorry!

Zitat:

Original von Kühlkiste
Etwas umständlich...

Du kannst hier ganz einfach gegen eine konv. geom. Reihe abschätzen.

Klammere dazu erstmal $\begin{eqnarray*} \left( \frac 35 \right)^k \end{eqnarray*}$ aus.

In dem Bruch der übrig bleibt kannst Du den Zähler durch 2 nach oben abschätzen und den Nenner durch 1/2 nach unten.

18.02.2010, 15:17

ajax2leet

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Das kommt davon, wenn man seine eigenen Notizen nicht lesen kann.

Richtig also: $\begin{eqnarray*} \frac{3^k+3^k}{5^k-2^k} = \frac{2}{\frac{5^k}{3^k}-\frac{2^k}{3^k}} \end{eqnarray*}$

Sollte aber imho nichts am Beweis oben ändern.

Mit der Abschätzung gegen $\begin{eqnarray*} \left ( {\frac{3}{5}} \right )^k \end{eqnarray*}$ gehts tatsächlich viel leichter. Danke für den Hinweis.

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