Implizite Funktionen

18.02.2010, 15:24

Gugi

Implizite Funktionen

Hallo an alle,

ich habe da wieder ein Problem und zwar diesmal mit dem Satz über implizite Funktionen. Meine Aufgabenstellung lautet: Sei $\begin{eqnarray*} F(x,y)=x^3+y^3-6xy=0 \end{eqnarray*}$ . Bestimme jene Punkte, wo y als Funktion von x darstellbar ist. Berechne y' und y''.
Also ich wiederhole mal kurz den Satz über implizite Funktionen.
Sei $\begin{eqnarray*} f: U -> \mathbb R, U\subseteq R^2 \end{eqnarray*}$ stetig diffferenzierbar. Außerdem gebe es einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)=0 & f_y(x_0,y_0)\neq0 \end{eqnarray*}$ gilt. dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ sodass die Funktion $\begin{eqnarray*} x->y(x), f(x,y(x))=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt für alle $\begin{eqnarray*} x \in U: (x-\delta,x+\delta) \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch y(x) in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig und es gilt : $\begin{eqnarray*} y'(x)=-\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)} \end{eqnarray*}$ .

Zurück zu meiner Funktion: Für den Punkt (0,0) sind die Vorraussetzungen nicht erfüllt aber für den Punkt (3,3), denn da ist auch die Ableitung nach y nicht null. Heißt das jetzt, dass ich in einer kleinen Umgebung vom Punkt (3,3) eine Funktion y(x) finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} F(x,y(x))=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Wenn ja,wie sieht diese Funktion aus?
etwa so?:
da y'(x)=-1 ist folgt daraus, dass y(x)=-x+c verwirrt

Nehmen wir mal an ich habe y(x) herausgefunden, kann ich dann F(x,y(x)) ausrechnen? (Muss man da nur y durch y(x) ersetzen und nach x auflösen?)
Letzte Frage: Wie sieht die zweite Ableitung von y(x) aus (ist vielleicht eine blöde Frage, aber ich habe in einem Buch eine komplizierte Formel zur Berechnung der zweiten Ableitung bei impliziten Funktionen gesehen)? Muss man da nur y'(x) nur noch einmal ableiten, dann wäre y''(x)=0?

Ich weiß, dass meine frage diesmal zu lang ist, aber ich will diesen Satz endlich verstehen... Gott

18.02.2010, 17:43

Huggy

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RE: Implizite Funktionen

Zitat:

Original von Gugi
Zurück zu meiner Funktion: Für den Punkt (0,0) sind die Vorraussetzungen nicht erfüllt aber für den Punkt (3,3), denn da ist auch die Ableitung nach y nicht null. Heißt das jetzt, dass ich in einer kleinen Umgebung vom Punkt (3,3) eine Funktion y(x) finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} F(x,y(x))=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Ja!

Zitat:

Wenn ja,wie sieht diese Funktion aus?

Da musst du die Cardanischen Formeln bemühen. F(x, y) ist ja als Funktion von y ein kubisches Polynom.

Zitat:

etwa so?:
da y'(x)=-1 ist folgt daraus, dass y(x)=-x+c verwirrt

Nein!
Denn es ist nicht y'(x) = 1 sondern y'(x = 3) = 1.
Also die Ableitung ist nur genau an dieser Stelle 1, aber nicht generell.

Zitat:

Nehmen wir mal an ich habe y(x) herausgefunden, kann ich dann F(x,y(x)) ausrechnen? (Muss man da nur y durch y(x) ersetzen und nach x auflösen?)

Wozu? Du weißt doch, dass F(x, y(x)) = 0 gilt. Du kannst damit aber überprüfen, ob dein y(x) korrekt ist.

Zitat:

Letzte Frage: Wie sieht die zweite Ableitung von y(x) aus (ist vielleicht eine blöde Frage, aber ich habe in einem Buch eine komplizierte Formel zur Berechnung der zweiten Ableitung bei impliziten Funktionen gesehen)? Muss man da nur y'(x) nur noch einmal ableiten, dann wäre y''(x)=0?

Wenn du eine explizite Darstellung für y(x) hast, kannst du die natürlich einfach zweimal ableiten.
y''(x) = 0 ist falsch, weil ja (siehe oben) schon y'(x) = 1 falsch ist.

20.02.2010, 12:56

Gugi

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RE: Implizite Funktionen
Ich danke dir wirklich, denn jetzt verstehe ich es ein bisschen.
Nur eine Frage: Warum hast du weiter oben geschriben, dass $\begin{eqnarray*} y'(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist? Es ist doch $\begin{eqnarray*} y'(x)= <b>-1</b> \end{eqnarray*}$ oder? Habe ich mich verrechnet? verwirrt

Danke

20.02.2010, 13:37

Huggy

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RE: Implizite Funktionen
Das Minuszeichen habe ich beim Schreiben schlicht vergessen.

20.02.2010, 16:48

Gugi

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RE: Implizite Funktionen
Ich hätte da noch eine Frage beezüglich impliziter Funktionen:
Wenn ich so eine Funktion gegeben habe: $\begin{eqnarray*} F(x,y,z)=e^{z}-x^2-y^2-z^2 in (x_0,y_0)=(1,0) \end{eqnarray*}$ und ich soll das Differential der implizit gegebenen Funktion f(x,y) ausrechnen und die Extrema bestimmen. Da bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Die Ableitungen der implizit gegebenen Funktion sehen so aus:
$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=-F_x/F_z;f_y(x,y)=-F_y/F_z \end{eqnarray*}$
Also sieht das Differential im Punkt (1,0) so aus:
$\begin{eqnarray*} df=(-F_x/F_z,-F_y/F_z); df(1,0)=(\frac{2}{e^{z}-2z},0) \end{eqnarray*}$
Nun ist aber mein Problem die Extremwerte auszurechnen, denn:
Ich weiß zwar, dass ich $\begin{eqnarray*} f_x=f_y=0 \end{eqnarray*}$ setzen muss, aber dann habe ich eine x oder y Abhängigkeit! Ist es hier so gemeint, dass ich die Extremwerte der Funktion f im Punkt (1,0) bestimmen soll??? verwirrt

Lg,
gugi

20.02.2010, 19:56

Huggy

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RE: Implizite Funktionen

Zitat:

Original von Gugi
Nun ist aber mein Problem die Extremwerte auszurechnen, denn:
Ich weiß zwar, dass ich $\begin{eqnarray*} f_x=f_y=0 \end{eqnarray*}$ setzen muss, aber dann habe ich eine x oder y Abhängigkeit! Ist es hier so gemeint, dass ich die Extremwerte der Funktion f im Punkt (1,0) bestimmen soll??? verwirrt

Lg,
gugi

Natürlich nicht!
Dazu müsstest ja vorab wissen, dass im Punkt (1, 0) ein Extremwert vorliegt. Das ist nicht der Fall, und wenn es so wäre, woher solltest du das vorab wissen?

Nein, du hast doch den Weg schon richtig beschrieben. Bilde allgemein $\begin{eqnarray*} (f_x, f_y) \end{eqnarray*}$ . Notwendige Bedingung für ein Extremum ist dann $\begin{eqnarray*} (f_x, f_y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ . Die Lösung dieses Gleichungssystems ist trivial, sobald du es hingeschrieben hast.

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