Produkt auflösbarer Gruppen

18.02.2010, 15:47	lemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt auflösbarer Gruppen Hallo, warum ist die direkte Summe (endl. viele Faktoren) auflösbarer Gruppen auflösbar, das direkte Produkt (unendlich viele Faktoren) hingegen nicht? Auflösbarkeit haben wir über die Kommutatorreihe definiert, d.h. es gibt ein n, sodass die n-te Kommutatorgruppe die triviale Gruppe ist. Ich stelle mir das gerade so vor: Seien $\begin{eqnarray} G_i, 1 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ auflösbar. Betrachte $\begin{eqnarray} G_1 \times \dots \times G_n \end{eqnarray}$ . Die Kommutatorgruppen bilde ich komponentenweise, also $\begin{eqnarray} G'_1 \times \dots \times G'_n \end{eqnarray}$ . Falls für eine Gruppe für ein j gilt $\begin{eqnarray} G^{(j)}_i = \{e\} \end{eqnarray}$ ist setze ich $\begin{eqnarray} G^{(j+1)}_i = \{e\}' = \{e\} \end{eqnarray}$ - also $\begin{eqnarray} G_1^{(j+1)} \times \dots \times \{e\}_j \times \dots \times G_n^{(j+1)} \end{eqnarray}$ So fahre ich fort, bis alle Gruppen in der trivialen Gruppen enden. Mache ich das so richtig? Eigentlich müsste es dann auch für das direkte Produkt gelten, also denke ich, einen Fehler zu machen.
19.02.2010, 17:05	lemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, hochschieben ist nicht gern gesehen . Aber könnte mir vielleicht noch jemand bei meinem Problem helfen? Das wurmt mich nämlich irgendwie...
21.02.2010, 07:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, gerade durch den Push hab ich es leider übersehen Stimmt natürlich
22.02.2010, 20:51	lemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gleich doppelt danke Aber warum gilt das nun nicht für das direkte Produkt (also mit unendlich vielen Faktoren)? Wenn jede dieser unendlich vielen Faktoren auflösbar ist, müsste doch auch das direkte Produkt auflösbar sein, oder?
22.02.2010, 20:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} G_i^{(i)} = 1 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} G_i^{(i-1)} \neq 1 \end{eqnarray}$ (Kenne jetzt direkt kein Beispiel für so eine Folge, sollte es aber geben. Muss man sich zur Not irgendwie mit Relationen hinbasteln). Betrachte jetzt $\begin{eqnarray} \times_i G_i \end{eqnarray}$
22.02.2010, 21:00	lemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, super. Danke! An so etwas hatte ich echt gar nicht gedacht
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