Stetigkeitsuntersuchung

18.02.2010, 16:08

kausalmann

Stetigkeitsuntersuchung

Hallo zusammen. Ich schreibe am Montag eine Klausur in Mathe und würde gerne Hilfe bei folgender Aufgabe bekommen. Denkanstöße reichen mir vollkommen, stelle dann meine Zwischenergebnisse hier wieder rein. Das Problem ist nur, dass ich nicht wirklich verstehe, was von mir gewollt ist.

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die durch

f(x)=

1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \sqrt{x\sin(x) } ,\pi \leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x) b} - \frac{1}{x} , 0 <x<\pi \end{eqnarray*}$

gegebene Funktion f im Nullpunkt

(i) stetig
(ii) differenzierbar

ist.

Heißt das für mich nun, dass ich in Aufgabenteil (i) per Annäherung an x=0 von >0 (bzw 0+) den Grenzwert bilden soll für die erste Seite der Funktion? Bzw genau andersherum für den zweiten Teil? Und wenn die beiden lim dann gleich sind, ist sie vollständig stetig?

Ich hoffe auf Hilfe und danke schon mal im Vorhinein. : )

Liebe Grüße,

kausalmann

18.02.2010, 16:52

Kausalmann

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Edit für den ersten Beitrag: Das "b" hinter sinx ist mir wohl dazwischengerutscht. Tut mir Leid. Kleiner Fehler beim Formel-Editieren.

Für den ersten Teil habe ich einen Limes von 0 für x von unten gegen 0.

Für den zweiten Teil habe ich einen Limes von oben gegen 0 von -1.

D.h. die Funktion ist nicht stetig oder nicht stetig ergänzbar?

Bei Aufgabenteil (ii) habe ich die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \sqrt{x\times \sin(x) } \end{eqnarray*}$ gebildet, um Differenzierbarkeit nachzuweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x) }{12\times (x \sin(x) )^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

Reicht das schon, oder habe ich etwas vergessen, bzw Fehler gemacht?

Liebe Grüße,

Kausalmann

18.02.2010, 18:36

system-agent

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Für das erste Beispiel:
Betrachte zuerst einmal die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ist es dort stetig?
Was bedeutet das dann für das eingeschränkte Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ [ich denke mal du meinst dieses, oder ist es $\begin{eqnarray*} [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ ? ].

Beachte, bei abgeschlossenen Intervallen heisst Stetigkeit am Rand, dass der einseitige Grenzwert existieren muss und mit dem Funktionswert übereinstimmen muss.
Was auch gleich beim zweiten Beispiel Probleme macht:
Die Funktion ist in Null nicht definiert. Kann es also dort überhaupt stetig sein?

19.02.2010, 00:35

Kausalmann

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Oh, da hat sich wohl dann doch noch ein weiterer Tipp-Fehler eingeschlichen. Natürlich muss es $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ heißen bei Teil 1.

@system-agent:

Aber muss ich denn die ganze Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten? Gefragt ist doch ausdrücklich nur nach der Stetigkeit im Punkt 0.

Ein weiteres: Vermutlich habe ich wohl die Stetigkeit im Allgemeinen falsch verstanden. "

Eine Funktion als Verknüpfung mehrerer stetiger Funktionen ist auch stetig. Gibt es einen Punkt, an dem sie nicht definiert ist, sagt dies zunächst nichts über ihre Stetigkeit aus. Dazu betrachtet man die Annäherungen von oben und unten an diesem Punkt. Sollten diese gleich sein, ist die Stelle stetig hebbar."

Stimmt das so in etwa?

Liebe Grüße,

kausalmann

19.02.2010, 09:34

system-agent

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Zitat:

Original von Kausalmann
Aber muss ich denn die ganze Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten? Gefragt ist doch ausdrücklich nur nach der Stetigkeit im Punkt 0.

Müssen, nein, aber es ist praktisch Augenzwinkern

.
Also ist die Funktion stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Die Antwort hast du schon selbst gegeben [Komposition].

Zitat:

Original von Kausalmann
Eine Funktion als Verknüpfung mehrerer stetiger Funktionen ist auch stetig.

Ja.

Zitat:

Original von Kausalmann
Gibt es einen Punkt, an dem sie nicht definiert ist, sagt dies zunächst nichts über ihre Stetigkeit aus.

Eine Funktion kann, per definitionem, nur dort stetig sein, wo sie definiert ist.

Zitat:

Original von Kausalmann
Dazu betrachtet man die Annäherungen von oben und unten an diesem Punkt. Sollten diese gleich sein, ist die Stelle stetig hebbar."

Wie gesagt, die Frage nach der Stetigkeit ist bloss da sinnvoll, wo die Funktion auch definiert ist. Das was du meinst, ist die stetige ergänzbarkeit.
Formal tust du folgendes:
Du untersuchst ob die Grenzwerte von möglichst beiden Seiten in 0 existieren und gleich sind [in deinem obigen Beispiel könntest du nur den Grenzwert von einer Seite bilden].
Sind die Grenzwerte gleich, dann bildest du eine neue Funktion
$\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ , die überall genau gleich mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schon definiert war und $\begin{eqnarray*} \tilde{f}(0)=\lim_{x\to0+}f(x) \end{eqnarray*}$ .

19.02.2010, 11:05

Kausalmann

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Demnach ist die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vollständig stetig, da sie im Punkt 0 definiert ist? Die Funktionen für sich sind durch den gegebenen Intervall für sich ja ebenfalls stetig, oder? Allerdings nicht stetig ergänzbar, da im Punkt 0 ja ein Sprung ist. (Nennt man das Polstelle oder Lücke?)

Kann man das so sagen?

Liebe Grüße,

kausalmann

19.02.2010, 11:46

system-agent

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Zitat:

Original von Kausalmann
Demnach ist die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vollständig stetig, da sie im Punkt 0 definiert ist?

Dieser Satz ist sinnlos.
Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig wo sie definiert ist, also insbesondere auch im Nullpunkt.
Das Einzige was man anmerken sollte ist, wieso die erste Funktion tatsächlich in einer ganzen Umgebung der Null definiert ist [dh wieso macht die Quadratwurzel keine Probleme].

Zitat:

Original von Kausalmann
Die Funktionen für sich sind durch den gegebenen Intervall für sich ja ebenfalls stetig, oder? Allerdings nicht stetig ergänzbar, da im Punkt 0 ja ein Sprung ist. (Nennt man das Polstelle oder Lücke?)

Kann man das so sagen?

Das verstehe ich nicht.
Die erste Funktion ist doch, wie oben bemerkt, anständig stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ [wo definiert], also insbesondere auch stetig auf dem kleinen Intervall [wobei hier die Stetigkeit am Rande als "einseitige" Stetigkeit aufzufassen ist].

Die zweite Funktion macht überhaupt keine Probleme, da dort, wie ebenfalls oben schon diskutiert, die Frage nach der Stetigkeit im Nullpunkt sinnlos ist [da nicht definiert].

19.02.2010, 14:39

Kausalmann

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Die Quadratwurzel macht keine Probleme, weil das Argument immer positiv oder Null bleibt, egal was ich einsetze. Also sind beide Funktionen für sich stetig und die Gesamtfunktion ist als Komposition der beiden anderen stetigen Funktionen ebenfalls stetig.

Damit wäre die Stetigkeit also schon nachgewiesen?

Übrigens vielen Dank für deine geduldige Hilfe. : )

Liebe Grüße,

kausalmann

19.02.2010, 15:14

WebFritzi

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Falls es noch nicht zu dir vorgedrungen sein sollte, Kausalmann... Die 2. Aufgabe macht keinen Sinn. Schmeiß sie weg. Der Grund wurde dir bereits genannt.

Die erste Funktion hat im Nullpunkt den Funktionswert Null und ist daher dort stetig (den Grenzwert hast du ja richtig berechnet). Bleibt die Frage nach der Differenzierbarkeit im Nullpunkt.

20.02.2010, 14:06

Kausalmann

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Zitat:

Original von WebFritzi
Bleibt die Frage nach der Differenzierbarkeit im Nullpunkt.

Und da hänge ich mich gerade auf. Habe im Moment wenig Zeit, schreibe gleich meine Rechnung hier rein.

Liebe Grüße,

kausalmann

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