Ableitung gebrochenrationale Funktion

18.02.2010, 15:17

Maya.92

Ableitung gebrochenrationale Funktion

Hallo,
ich habe folgendes Problem:
die gebrochenrationale funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= x²+1/x-1 \end{eqnarray*}$ soll zweimal abgeleitet werden.
Bisher bin ich so weit gekommen:
$\begin{eqnarray*} f´(x)= (2x)x(x-1)-(x²+1)x(1) / (x-1)² =2x²-2x-(x²+1)/(x-1)² =x²-2x+1/(x-1)² = (x-1)x(x-1)/ (x-1)² = (x-1)/(x-1) f´´(x)= 1x(x-1))-(x-1)x 1 / (x-1)² =(x-1)-(x-1)/ (x-1)² \end{eqnarray*}$

ich komme aber leider auf kein richtiges ergebnis, kann mir jemand sagen, was ich falsch mache ?

Gruß,Maya

18.02.2010, 15:19

Maya.92

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double superscript ?
hier mein rechenweg:

f´(x)= (2x)x(x-1)-(x²+1)x(1) / (x-1)²
=2x²-2x-(x²+1)/(x-1)²
=x²-2x+1/(x-1)²
= (x-1)x(x-1)/ (x-1)²
= (x-1)/(x-1)

f´´(x)= 1x(x-1))-(x-1)x 1 / (x-1)²
=(x-1)-(x-1)/ (x-1)²

18.02.2010, 15:33

Mulder

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Zunächst mal ist es extrem ungünstig, bei einer Funktion, in der x die Variable ist, auch noch das Malzeichen durch ein x darzustellen. Wie soll man sich da denn drin zurecht finden? Nimm entweder das * oder in Latex noch besser einfach \cdot.

Dann scheint es an allen Ecken und Enden an Klammersetzung zu mangeln. Damit man weiß, wovon du sprichst, wenn du denn schon ohne Bruchstrich arbeiten willst, dann setz anständig Klammern. So, wie du es geschrieben hast, steht da:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + \frac{1}{x}-1 \end{eqnarray*}$

Ich nehme aber an, es geht eher um

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Richtig? Dir kann nur geholfen werden, wenn du da etwas gründlicher wirst. Beachte die Rechenprioritäten. Hellsehen kann hier nunmal niemand. Noch besser wäre es, einfach in Latex richtige Bruchstriche zu setzen. So schwer ist das auch nicht.

code:
1:	[latex]\frac{a}{b}[/latex]

liefert

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Was dein "double Superscript" angeht: Verwende für den Ableitungsstrich besser den senkrechten Strich ' (neben dem ä), dann passiert das nicht.

Mit dem Formeleditor des Forums wird das alles viel einfacher.

18.02.2010, 15:53

Maya.92

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Danke für die etwas forsche, aber trotzdem hilfreiche Antwort!
Da ich diese Seite gestern erst entdeckt habe, kenne ich mich mit dem Formeleditor nicht wirklich aus. Aber ich versuche mein Bestes, beim nächsten Mal alle nötigen Klammern und Bruchstriche zu setzen, damit sich niemand mehr aufregen muss! smile

Hier die verbesserte Fassung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac {(2x)\cdot (x-1)-(x²+1)\cdot (1)} { (x-1)²} =\frac {2x²-2x-(x²+1)} {(x-1)²} =\frac {x²-2x+1)} {(x-1)²} = \frac {(x-1)\cdot (x-1)} {(x-1)²} = \frac {x-1)} { (x-1)} f''(x)= \frac {1\cdot (x-1)-(x-1)\cdot 1 } { (x-1)²} =\frac {(x-1)-(x-1)} { (x-1)²} \end{eqnarray*}$

hoffe, diesmal ist alles okay und jeder kann was damit anfangen Augenzwinkern

18.02.2010, 15:59

Mulder

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Schon viel besser so. smile

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac {(2x)\cdot (x-1)-(x²+1)\cdot (1)} { (x-1)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {2x²-2x-(x²+1)} {(x-1)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {x²-2x+1} {(x-1)²} \end{eqnarray*}$

Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Das +1 im Zähler wird zur -1, wenn du die Klammer auflöst.

18.02.2010, 16:11

Maya.92

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Okay.

Dann hätte ich also $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac { x²-2x-1 } {(x-1)² } \end{eqnarray*}$
Ich komme leider immer noch nicht weiter ..

18.02.2010, 19:49

Mulder

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RE: Ableitung gebrochenrationale Funktion
Pardon, ich musste vorhin meinen Zug kriegen, ich hatte gehofft, dass vielleicht jemand anders einspringt.

Nunja, du könntest nun im Zähler noch eine quadratische Ergänzung machen. Dann verwendest du

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du noch kürzen und die zweite Ableitung wird sehr überschaubar.

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