Quadratischer Rest/Primzahl

18.02.2010, 18:14	Kathy05	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratischer Rest/Primzahl Meine Frage bezieht sich auf folgenden Satz: "Ist p eine ungerade Primzahl, so gibt es genau $\begin{eqnarray} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray}$ Reste, die als Reste von zu p teilerfremden Quadratzahlen bei Division durch p auftreten." Meine Frage ist: Weshalb gibt es genau $\begin{eqnarray} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray}$ Reste? Kann jemand mir eventuell einen Tipp für einen Beweis dieses Satzes geben? Vielen Dank!
18.02.2010, 20:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} x^2 = (p-x)^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ kann es nicht mehr als $\begin{eqnarray} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray}$ Reste geben. Und wegen $\begin{eqnarray} x^2 = y^2 \Longleftrightarrow (x-y)(x+y)=0 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ ist ein Körper, also ist eine Klammer 0) kann es auch nicht weniger als $\begin{eqnarray} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray}$ Reste geben.

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