Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?

18.02.2010, 19:17

Smie89

Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?

Hallo!

Ich bin gerade beim Lösen meiner Prüfungsaufgaben.
Unter anderem habe ich folgende Aufgabe gelöst:

A(n) = $\begin{eqnarray*} 7^{n+2}-3^{n} \end{eqnarray*}$ ist stets durch 4 teilbar.

Dabei bin ich folgender Weise rangegangen.

Induktionsanfang(?!^^): Hierbei habe ich erstmal die Gültigkeit für die Werte n=1 und n = 2 mit Erfolg getestet.

Induktionsschritt: A(n+1) = $\begin{eqnarray*} 7^{n+3} - 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} 7^{n}* 7^{3} - 3^{n}*3^{1} \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 7^{n}*(1*7^{3}) - 3^{n}*(1*3) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 4^{n}*(7^{3}-3) \end{eqnarray*}$

Hierbei ist der Klammerinhalt durch 4 teilbar sowie der Vorfaktor.

Sooo nun ist meine Frage ob ich das so richtig gemacht habe Big Laugh

Bin mir ja nicht so sicher, ob ich alles richtig umgeformt habe....
naja falls ich nicht richtig vorgegangen bin, bitte ich um Berichtigungen traurig

Vielen Dank schon mal fürs Lesen und Antworten smile

18.02.2010, 19:44

Kühlkiste

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RE: Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?

Zitat:

Original von Smie89
-> $\begin{eqnarray*} 7^{n}*(1*7^{3}) - 3^{n}*(1*3) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 4^{n}*(7^{3}-3) \end{eqnarray*}$

Oha, das ist aber grob falsch!

Beachte stattdessen:

$\begin{eqnarray*} 7^{n+3}-3^{n+1}=4\cdot 7^{n+2}+3\cdot(7^{n+2}-3^n) \end{eqnarray*}$

18.02.2010, 19:45

wisili

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RE: Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?
Nein, das ist leider ganz falsch. Bei einer Differenz (oder Summe) kann man nur gemeinsame Faktoren ausklammern.
Edit: zu spät.

18.02.2010, 19:48

Smie89

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RE: Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?
danke für die schnellen antworten
war mir i-wie klar das ich da was falsch gemacht hatte beim klammern ;-)
muss ich mal weiter probieren, auf kühlkiste seine gleichung zu kommen! :-)

19.02.2010, 17:06

Smie89

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RE: Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?
Ich hoffe, dass dies hier jetzt noch wer ließt Big Laugh

also... um auf Kühlkiste's Lösung zu kommen, bin ich folgender Maßen vorgegangen:

-> $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7^{1} - 3^{n}*3^{1} \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 - 3*\left(7^{n+2}-7^{n+2}+3^{n}\right) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 + 3*7^{n+2} - 3*\left(-7^{n+2}+3^{n}\right) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 + 3*7^{n+2} + 3*\left(7^{n+2}-3^{n}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich
$\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 + 3*7^{n+2} \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} 7^{n+2}\left(7+3\right) \end{eqnarray*}$
ausklammern.
Naja... aber in der Klammer sollte 7 - 3 stehen um auf das Ergebnis zu kommen unglücklich

ich denke und denke...komme aber nicht auf diese Konstellation.

Kann mir jemand bitte auf die Sprünge helfen unglücklich

Wäre sehr dankbar

19.02.2010, 17:18

wisili

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RE: Vollst. Induktion - Teilbarkeit - richtig gelöst?

Zitat:

Original von Smie89
$\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 + 3*7^{n+2} - 3*\left(-7^{n+2}+3^{n}\right) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 + 3*7^{n+2} + 3*\left(7^{n+2}-3^{n}\right) \end{eqnarray*}$

Beachte die Korrektur eines Vorzeichenfehlers:
... $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *7 - 3*7^{n+2} - 3*\left(-7^{n+2}+3^{n}\right) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *(7-3) + 3*\left(7^{n+2}-3^{n}\right) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 7^{n+2} *4 + 3*\left(7^{n+2}-3^{n}\right) \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 17:32

Smie89

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Ahhhh achso....
ich blinde nuss ^^

Dankeeeeeee für die Antwort smile

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