Anzahl bestimmter Ebenen im Raum

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Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl bestimmter Ebenen im Raum
Hallo,
ich soll folgende Fragestellung beantworten und beweisen:

Im Raum sind 4 Punkte gegeben, die nicht in einer Ebene liegen. Wieviel Ebenen gibt es,
die von diesen Punkten gleichen Abstand haben?


Leider fehlt mir bis jetzt ein Ansatz und ich bin für jede Hilfe dankbar!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Szenarien gibt es für eine Ebene mit dieser Eigenschaft?

(a) Auf der einen Seite der Ebene liegen drei Punkte, auf der anderen Seite einer.

oder

(b) Auf der beiden Seiten der Ebene liegen jeweils genau zwei Punkte.

Warum das gilt, überlegst du dir mal selbst. Und dann zählst du die Anzahl der Ebenen jeweils in den Fällen (a) und (b). Diese Anzahlen hängen selbstverständlich von der Anzahl der Auswahlen der fraglichen Punkte in (a) und (b) ab.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl bestimmter Ebenen im Raum
7 smile

fang halt damit an:
1) 3 punkte liegen in einer ebene
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl bestimmter Ebenen im Raum
Da drei Punkte eine Ebene festlegen, muss man die Ebene, die von den drei Punkten auf der einen Seite festgelegt wird, ja nur so verschieben, dass sie "in Mitte" Der Entfernung zu dem einzelnen Punkt liegt.
Da gibt es meiner Meinung nach eine Ebene von und wenn man die Punkte anders kombiniert, müssten es dann 3 Stück sein, die für a) in Frage kommen.

Ich hoffe, dass ich mich einigermaßen verständlich ausgedrückt habe :-)

VIELEN DANK schoneinmal!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da hast du dich verzählt: In (a) sind es 4 Ebenen.
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich das denn richtig, dass es vier ebenen sind, weil es vier möglichkeiten gibt, drei punkte aus vier punkten auszuwählen (die dann die beschriebene ebene festlegen) ?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau - oder eben auch 4 Möglichkeiten den einen Punkt auf der anderen Seite der Ebene auszuwählen. Ist rum wie num:

.
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist diese Beschreibung auch "richtig"

"Da drei Punkte eine Ebene festlegen, muss man die Ebene, die von den drei Punkten auf der einen Seite festgelegt wird, ja nur so verschieben, dass sie "in Mitte" der Entfernung zu dem einzelnen Punkt liegt." ?

Danke , langsam fange ich an, eine Vorstellung zu entwickeln smile
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachvollziehen, kann ich das nun, aber wie kann man das beweisen?
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bräuchte bitte noch einmal Hilfe!!!

Im Fall b) bin ich jetzt soweit, dass die Strecken zwischen den zwei Punkten die auf einer "Seite" liegen parallel zueinander sein müssen, damit ein gleicher Absatnd entstehen kann.

Es sollen für diesen Fall 3 Ebenen existieren. Aber ich weiß nicht, welche das sein sollen!?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ebene trennt die 4 Punkte in 2 Paare. Das geht 3 mal (Hälfte von 4 tief 2).
(Oder so: Der Punkt A kann dreimal zu einem Paar ergänzt werden: (A,B), (A,C), (A,D))
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis85
Ich bräuchte bitte noch einmal Hilfe!!!

Im Fall b) bin ich jetzt soweit, dass die Strecken zwischen den zwei Punkten die auf einer "Seite" liegen parallel zueinander sein müssen, damit ein gleicher Absatnd entstehen kann.

Es sollen für diesen Fall 3 Ebenen existieren. Aber ich weiß nicht, welche das sein sollen!?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!


das stimmt nicht (warum Augenzwinkern ).
sondern die beiden geraden g durch obda A und B sowie h durch C und D sind zueinander windschief,
(das warum, sollte auch klar sein Augenzwinkern )
damit sollte die konstruktion von 2 parallelen und der gesuchten ebene klar sein.

anschließend untersuche wie bei a) die anzahl der möglichen anordnungen

edit: das hat dir wisili schon hingemalt
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber warum muss man die Hälfte von 4über2 nehmen?
Im ersten Fall halbiert man doch auch nicht?!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis85
... die Strecken zwischen den zwei Punkten die auf einer "Seite" liegen parallel zueinander sein müssen...


wie riwe schon anmerkte, ist das falsch. Richtig wäre:
«... die Strecken zwischen den zwei Punkten die auf einer "Seite" liegen je parallel zur Ebene sein müssen...

Nachtrag: Wieviele Tennis-Doppel gibt es mit 4 Personen?
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer 3 Tennis-Doppel! smile
Stand da wohl etwas auf dem Schlauch! Danke!
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe

sondern die beiden geraden g durch obda A und B sowie h durch C und D sind zueinander windschief,
(das warum, sollte auch klar sein Augenzwinkern )
damit sollte die konstruktion von 2 parallelen und der gesuchten ebene klar sein.


Tut mir Leid, aber die Konstruktion der gesuchten Ebene ist mir immer noch nicht ganz klar.
Ich verbinde zuerst die jew Punkte, die auf "einer" Seite liegen und konstruiere dann durch jeden Punkt eine Orthogonale. Dann muss die gesuchte Ebene irgendwo auf diesen Orthogonalen liegen, weil diese dann die Lote der Punkte sind. Bedingung ist ja, dass die Abstände von den Punkten zu ihren jew Lotfußpunkten später gleich sein müssen, aber ich weiß nicht, wie ich das konstruieren kann!?

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Vielen Dank schon einmal!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Weniger elegant: Du betrachtest die 4 Strecken zwischen einem Punkt auf der einen Seite und einem Punkt auf der andern Seite und suchst wenigstens bei 3 dieser Strecken den Mittelpunkt. Die gesuchte Ebene geht durch diese 3 Punkte.

Eleganter: Du bildest das Vektorprodukt der beiden Verbindungsvektoren der Punkte, die auf jeweils einer Seite der Ebene liegen. Damit hast du einen Normalvektor der Ebene. Es fehlt nur noch ein Punkt: Das ist einer der oben genannten.
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, wenn ich mich nun für die erste Variante entscheide, waren meine bisherigen Überlegungen ja überflüssig. Oder könnte ich auch durch meine Überlegungen die gesuchte Ebene konstruieren?
(Tue mich etwas schwer damit, meine Gedanken zu verwerfen Augenzwinkern )
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, oder nur derart kompliziert, dass ich den Weg gar nicht fertigdenken will.
(Es gibt ja viele Orthogonalen zu einer Strecke!)
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern OK Vielen Dank!
Dennis85 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur dann verstehe ich diese Aussage von riwe nicht:

damit sollte die konstruktion von 2 parallelen und der gesuchten ebene klar sein.


das sagt doch aus, dass ich durch die konstruktion von parallelen auch die gesuchte ebene konstruieren kann!?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich hat sich riwe 3 Ebenen vorgestellt: Die gesuchte und zusätzlich zu beiden Seiten noch eine parallele Ebene durch die jeweiligen beiden Punkte. Die beiden Punkte auf jeder Seite bilden je einen Vektor, sie dienen in allen 3 Ebenen als Richtungsvektoren (=Spannvektoren).
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis85
Nur dann verstehe ich diese Aussage von riwe nicht:

damit sollte die konstruktion von 2 parallelen und der gesuchten ebene klar sein.


das sagt doch aus, dass ich durch die konstruktion von parallelen auch die gesuchte ebene konstruieren kann!?


das ist doch eine "beliebte" aufgabe:
stelle die gleichung einer ebene auf durch A und B und einer zur windschiefen geraden durch C und D parallelen geraden.
und analog die dazu parallele ebene durch C und D.

die GESUCHTE dritte ebene ist damit eindeutig festgelegt als die parallele ebene durch den mittelpunkt von z.b.

(du kannst auch einfach mit hilfe der mittelpunkte der verbindungsstrecken die ebene konstruieren smile )

und von diesen GESUCHTEN ebenen gibt´s deren 3.
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