Beweis einer Tangentenkonstruktion am Graph x³

18.02.2010, 22:02

mwinter

Beweis einer Tangentenkonstruktion am Graph x³

Nabend

Habe die Aufgabenstellung um die es sich dreht einfach mal angehangen. Ich bräuchte irgendwie mal einen Denkanstoß.

Ich weiß:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x_{1} | y_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(0 | -2y_{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = \frac{3y_{1}}{x} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bringt mich das nicht so wirklich weiter.

Über Tipps würde ich mich freuen, bevor ich hier verzweifel. Hammer

Lg.

18.02.2010, 22:19

riwe

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RE: Beweis einer Tangentenkonstruktion am Graph x³

Zitat:

Original von mwinter
Nabend smile

Lg.

da stimmt aber einiges nicht, angefangen mit der ableitung
aber die idee ist schon richtig,
also

$\begin{eqnarray*} m=\frac{3y_1}{x_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ja noch leichter zu bestimmen.
nun stelle die geradengleichung auf und bestätige, dass sie tangente ist Augenzwinkern

18.02.2010, 22:46

mwinter

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Oh, keine Ahnung was mir da mit meiner Ableitung passiert ist. Danke für den Tipp.

Kann ich bei der a) nicht eigentlich auch einfach mit den gegebenen Werten rechnen und im Aufgabenteil b) dann erst verallgemeinern?

a)
$\begin{eqnarray*} P(1|1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(0|b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$

t:
$\begin{eqnarray*} m=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1-(3 \cdot 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-2 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} Q(0|-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-2y \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} P(x|x^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(0|-2x^n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m= \frac{3x^n}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= -2x^n \end{eqnarray*}$

t: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3x^n}{x} \cdot x - 2x^n \end{eqnarray*}$
t: $\begin{eqnarray*} f(x)=3x^n - 2x^n \end{eqnarray*}$

Wäre das eine Verallgemeinerung des Konstruktionsverfahrens oder muss ich da anders vorgehen?

Hoffe mir ist kein Fehler unterlaufen.

Lg.

18.02.2010, 23:02

riwe

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ich denke, spezielle werte bringen nichts.
du kannst höchstens b) allgemein beweisen, dann ist a) miterledigt.

aber auch bei b) stimmt die ableitung nicht, wenn das m sein soll, oder verwirrt

wieso machst du nicht, was ich dir oben geraten habe, also bestimme n unglücklich

was ist denn b verwirrt

ah das soll wohl mein n sein in
$\begin{eqnarray*} y=mx + n \end{eqnarray*}$

dann scheint mir die verallgemeinerung für n = b nicht richtig, habe es aber nicht nachgeprüft

18.02.2010, 23:55

mwinter

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Du hast Recht, riwe. Mein Fehler war, dass ich den Faktor -2 von Aufgabenteil a) mit in meine Verallgemeinerung genommen habe.

Habe Aufgabe a) jetzt nochmal mit den Variablen gerechnet und bin mir relativ sicher, dass ich mit Aufgabenteil b) jetzt auch richtig liegen müsste.

Damits nicht wieder zu Verwirrung kommt: f(x)=mx+n -> f(x)=mx+b
a)
$\begin{eqnarray*} P(x|x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$

t:
$\begin{eqnarray*} x^3=3x^2 \cdot x + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-2x^3 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} Q(0|-2x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=3x^3-2x^3 \end{eqnarray*}$

Hier finde ich allerdings komisch, dass ich als Tangentengleichung die Ausgangsfunktion bekomme..

edit: hätte ich vielleicht in meiner Tangentengleichung mit 2 verschiedenen x rechnen müssen? Also einmal den x-Wert des Berührungspunkt in meiner Steigung und einmal den beliebigen x-Wert den man in die Gleichung einsetzen kann?

$\begin{eqnarray*} t(x)=3x^2 \cdot x_{2}-2x^3 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} P(x|x^n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

t:
$\begin{eqnarray*} b=x^n- \frac{nx^n}{x} \cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=x^n-nx^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=x^n \cdot (1-n) \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} Q(0|x^n(1-n)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=nx^n+x^n(1-n) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es stimmt jetzt. Am besten geh ich erstmal schlafen. smile

19.02.2010, 00:32

riwe

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ja du solltest/mußt auf jeden fall mit x_0 und x (also 2 verschiedenen x) arbeiten,

und das was du komisch findest, ist dann genau das, was du zeigen sollst Augenzwinkern

den rest verschieben wir auf morgen

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