Volumenintegral

18.02.2010, 23:15

Helena

Volumenintegral

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabenstellung:

Das Volumen V sei gegeben durch einen Zylinder entlang der z-Achse mit Radius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Berechne das Volumenintegral
$\begin{eqnarray*} \int_V \! \frac{z²}{1+x²+y²} \, d\vec{r} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht mal, was ich da machen soll. Ich habe das Volumen eines Zylinders gegeben und was bedeutet die Integration über $\begin{eqnarray*} \frac{z²}{1+x²+y²} \end{eqnarray*}$ ?

Ansatz, ohne recht zu wissen, was ich da rechne:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{R=1} \! \frac{z²}{1+\sqrt{r}} \, d\vec{r} \end{eqnarray*}$
Könnte mir bitte jemand erklären, was die Aufgabe überhaupt von mir will?
Danke im voraus,
Helena

18.02.2010, 23:22

system-agent

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Die Aufgabe will, dass du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\frac{z^2}{1+x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ über den (Voll-)Zylinder $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ integrierst. Und dein Ansatz sieht doch schon nach einer guten Idee aus [Zylinderkoordinaten] Augenzwinkern

18.02.2010, 23:34

Helena

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Ok, vielen Dank!
Wie kann ich mir das denn bildlich vorstellen?
Ich habe einen Zylinder und wenn ich über den integriere, dann habe ich das Volumen, das der Zylinder und die Funktion einschließen, ne, oder?

$\begin{eqnarray*} d\vec{r} = \vec{r}' dt \end{eqnarray*}$ ,wobei $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ die Zylinderkoordinaten ausdrückt: $\begin{eqnarray*} x=r cos(\phi) y=r sin(\phi) z=z \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{R=1} \! \frac{z²}{1+\sqrt{r}} r \vec{r}'\, dt \end{eqnarray*}$
Dann macht mir das t noch Probleme, wie kriege ich das in Zylinderkoordinaten?

18.02.2010, 23:44

system-agent

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Zitat:

Original von Helena
Ok, vielen Dank!
Wie kann ich mir das denn bildlich vorstellen?
Ich habe einen Zylinder und wenn ich über den integriere, dann habe ich das Volumen, das der Zylinder und die Funktion einschließen, ne, oder?

Ja und Nein. Du kriegst das Volumen im vierdimensionalen Raum. Wirlich bildlich kann ich mir das nicht vorstellen.

Zitat:

Original von Helena
$\begin{eqnarray*} x=r cos(\phi) y=r sin(\phi) z=z \end{eqnarray*}$

Mach dir hier ersteinmal klar, welche Werte $\begin{eqnarray*} r,\phi,z \end{eqnarray*}$ annehmen müssen, damit sie deinen Zylinder beschreiben.

18.02.2010, 23:56

Helena

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Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} x=r cos(\phi) y=r sin(\phi) z=z \end{eqnarray*}$

Mach dir hier ersteinmal klar, welche Werte $\begin{eqnarray*} r,\phi,z \end{eqnarray*}$ annehmen müssen, damit sie deinen Zylinder beschreiben.

$\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 1, \phi \end{eqnarray*}$ muss über \pi integriert werden, damit es 3-Dimensional wird.

19.02.2010, 00:03

system-agent

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Nein.
Der Zylinder hat Radius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Tatsächlich ist es der Vollzylinder, also $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ musst du auch andere Grenzen nehmen.
Deine Grenze für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Anschaulich:
Wie kannst du mit $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ die Einheitskreisscheibe parametrisieren? Das heisst, welcher Werte muss $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dazu annehmen?

19.02.2010, 00:13

Helena

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Im Einheitskreis ist $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq\phi \leq 2\pi \end{eqnarray*}$
Die Grenzen im Integral der Aufgabe wären dann also nicht über $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sondern über $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Wie die Integrationsgrenzen bei R sind, wenn $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq1 \end{eqnarray*}$ ...ist das nicht von 0 bis 1-R?
Danke nochmal, ich lass es für heute mal gut sein und mach mich morgen wieder dran smile

19.02.2010, 00:19

system-agent

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Ich habe extra immer wieder Vollzylinder geschrieben, und dieser beinhaltet ein anständiges Volumen.
Anschaulich gesagt:
Mit dem Einheitskreis kriegst du eine Röhre, wir wollen aber als $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ die Röhre plus Füllung haben !
Deshalb habe ich die nach der Parametrisierung der Einheitskreischeibe gefragt, also der Kreislinie plus "Inhalt".

Also:
$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq\phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq1 \end{eqnarray*}$ .

Nochmals: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ selbst hat weiter keinerlei bedeutung, es gibt bloss den "Radius der Röhre" an.

Nun nutze die Transformationsformel. Dazu musst du das Differential der Transformationsabbildung ausrechnen.

19.02.2010, 11:46

Helena

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Zitat:

Original von system-agent
Ich habe extra immer wieder Vollzylinder geschrieben, und dieser beinhaltet ein anständiges Volumen.
Anschaulich gesagt:
Mit dem Einheitskreis kriegst du eine Röhre, wir wollen aber als $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ die Röhre plus Füllung haben !
Deshalb habe ich die nach der Parametrisierung der Einheitskreischeibe gefragt, also der Kreislinie plus "Inhalt".

Also:
$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq\phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq1 \end{eqnarray*}$ .

Nochmals: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ selbst hat weiter keinerlei bedeutung, es gibt bloss den "Radius der Röhre" an.

Nun nutze die Transformationsformel. Dazu musst du das Differential der Transformationsabbildung ausrechnen.

Mit Transformationsformel meinst du die Berechnung der Jakobi-Determinante des Zylinders in Parameterform?
$\begin{eqnarray*} |\frac{d\vec{r}}{dr} X\frac{d\vec{r}}{d\phi} |=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d\vec{r}=r dr d\phi dz \int_0^{1} \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \! \frac{z²}{1+\sqrt{r}} \, r dr d\phi dz \end{eqnarray*}$
Die Grenzen gehen von 0 bis 1,bzw. 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , da ich über die gesamte Fläche dazwischen integriere.
Stimmt das soweit?

19.02.2010, 12:07

system-agent

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Mit Transformationsformel meine ich das.

Die Determinante der Jacobimatrix hast du schon angeben und im Integral genutzt.
Nur dieses $\begin{eqnarray*} \sqrt{r} \end{eqnarray*}$ im Nenner scheint mir noch falsch.
$\begin{eqnarray*} 1+x^2+y^2=1+r^2\cos^2(\phi)+r^2\sin^2(\phi)=1+r^2 \end{eqnarray*}$ .

19.02.2010, 12:54

Helena

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Oh, ja natürlich müsste da r² stehen! Die Transformationsformel habe ich dann auch schon benutzt, indem ich das Integral in Zylinderkoordinaten umgeschrieben habe.
Das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \! \frac{z²}{1+r²} \, r dr d\phi dz \end{eqnarray*}$
habe ich ausgerechnet, das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pi ln(2) \end{eqnarray*}$ , wolframalpha hat das auch raus(yay!).

Vielen lieben Dank für deine Hilfe, system-agent.

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