Wann ist die Differenz zweier reellen Zahlen rational?

19.02.2010, 00:47

gonnabphd

Wann ist die Differenz zweier reellen Zahlen rational?

$\begin{eqnarray*} Seien \quad a, b \quad reelle \quad Zahlen. \quad Wir \quad definieren \quad a<_pb :\Leftrightarrow b-a>0 \quad und \quad (b-a) \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Nun soll gezeigt werden, dass hierdurch eine "strict partial order" (sorry, hab nicht gefunden wie das zu deutsch heisst, jedenfalls eine nichtreflexive, transitive Relation...) auf R erklärt wird, und weiterhin soll man die maximal geordneten Teilmengen angeben.

Der erste Teil bereitet keine grosse Mühe, aber beim zweiten Teil sollte man wohl wissen wann zwei irrationale Zahlen eine rationale Diffenerenz haben...

Ich dachte zuerst an etwas wie eine Präsentation einer irrationalen Zahl durch ihren "rationalen Teil" und den "irrationalen Rest". Wobei dann zwei Zahlen vergleichbar sind, wenn sie gleiche irrationale Reste haben.
Aber so eine Repräsentation wäre wohl kaum eindeutig...

verwirrt

19.02.2010, 06:46

WebFritzi

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c - a = (c - b) + (b - a)

19.02.2010, 10:35

wisili

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RE: Wann ist die Differenz zweier reellen Zahlen rational?
Betrachte für jede reelle Zahl r die Klasse { r+q | q ist rational }.
Hat man damit eine Klasseneinteilung der reellen Zahlenmenge?
Wie hängt die <-p-Relation mit dieser Aequivalenzrelation zuammen?

19.02.2010, 17:45

gonnabphd

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Zitat:

Original von wisili
Betrachte für jede reelle Zahl r die Klasse { r+q | q ist rational }. (1)
Hat man damit eine Klasseneinteilung der reellen Zahlenmenge? (2)
Wie hängt die <-p-Relation mit dieser Aequivalenzrelation zuammen? (3)

(1) Ja, das war anfangs auch meine Idee.

(2) Diese Mengen bilden keine Partition, da sie nicht disjunkt sind. (?!)

(3) Ware durch (1) eine Äquivalenzklasse gegeben, dann wären zwei Zahlen genau dann vergleichbar, wenn sie in der selben Äquivalenzklasse liegen. Und dann wäre: r (<-p) r' <=> q < q' .

Edit: Die Mengen bilden doch eine Partition, da einfach unendlich viele Mengen der Partition gleich sind! Also wenn eine Zahl in zwei Mengen liegt, dann sind diese Mengen schon gleich. Deshalb ist wohl auch eine Äquivalenzklasse gegeben... Freude