lineare Mannigfaltigkeit

19.02.2010, 10:00

JohannesF

lineare Mannigfaltigkeit

Guten Morgen,
ich versuche gerade diese Aufgabe zu verstehen:

Für ein festes $\begin{eqnarray*} u \in R^3, u \neq 0 \end{eqnarray*}$ und ein festes $\begin{eqnarray*} c \in R^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E=\{x:u^Tx=c\} \end{eqnarray*}$ ein Teilmenge von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

Man beweise, dass E im Falle $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ eine lineare Mannigfaltigkeit von R^3 ist. (Eine Teilmenge M eines linearen Raumes L heißt q-dimensionale) lineare Mannigfaltigkeit von L, wenn ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in L \end{eqnarray*}$ und ein q-dimensionaler Unterraum $\begin{eqnarray*} L' \end{eqnarray*}$ von L existieren, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} M=x_0+L'=\{x:x_0+l,l \in L'\} \end{eqnarray*}$

Was muss ich da alles zeigen?

Viele Grüße

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

19.02.2010, 10:38

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lineare Mannigfaltigkeit
Hi Johannes,

Keine Ahnung weshalb in der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen wurde, denn dann wird es ebenfalls eine lineare Mannigfaltigkeit und sogar ein linearer Unterraum.

Du musst jedenfalls zuerst einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ finden, bzw. zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ nicht leer ist. Dieser Vektor wird dann Dein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
Anschließend betrachtest Du die Menge $\begin{eqnarray*} E-x_0 \end{eqnarray*}$ . Was musst Du dann für diese noch zeigen? Wie kann man das am besten bewerkstelligen?

Gruß,
Reksilat.

19.02.2010, 10:44

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit by Reksilat:
@Ehos: Dieser Beitrag hier ist meiner Meinung nach einfach nur überheblich und unangebracht. Mit den meisten Deiner Aussagen stiftest Du nur Verwirrung, allein der erste Satz ist völlig daneben, denn diese Definition eines affinen Unterraums ist durchaus üblich.

Es ist nicht die Aufgabe des Matheboards den Fragestellern neue Definitionen aufzuzwingen, zumal ich Deine hier auch für völlig unnötig und unpraktisch halte. Ich erläutere das auch gerne weiter per PN.

Gruß,
Reksilat.
______________________________________

Diese Aufgabe ist ein typisches Beispiel dafür, wie man einfache Dinge in komplizierte verwandelt. Der Autor wollte dabei möglichst viele Begriffe anwenden, um zu zeigen, wie wichtig er ist.

Allgemein wird eine lineare Mannigfaltigleit durch folgende Gleichung dargestellt:

$\begin{eqnarray*} \vec x=x_0+x_1t_1+ \vec x_2t_2+...+\vec x_nt_t \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \vec x_1, \vec x_1,...,\vec x_n \end{eqnarray*}$ feste Vektoren und $\begin{eqnarray*} t_1, t_2,...,t_n \end{eqnarray*}$ irgendwelche freien Parameter. Im Fall n=1 ist das eine Gerade. Im Fall n=2 istdas eine Ebene usw.. Das ist also Schulstoff.

Das wesentliche Merkmal einer linearen Mannigfaltigkeit ist, dass diese nicht gekrümmt ist. Zum Beispiel ist ein Kreis oder eine Kugeloberfläche keine lineare Mannigfaltigkeit.

In Deiner Aufgabe handelt es sich um eine Ebene im 3-dimensionalen Raum, die aber nicht mit Hilfe der obigen Parametergleichung angegeben wird, sondern als Koordinatengleichung, also

$\begin{eqnarray*} \vec u \cdot \vec x=c \end{eqnarray*}$

Du sollst jetzt beweisen, dass dass man diese Koordinatengleichung auf die obige Parameterform bringen kann, also auf die Form

$\begin{eqnarray*} \vec x=x_0+x_1t_1+ \vec x_2t_2 \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 14:08

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Reksilat: Und ich finde es unangebracht, dass du einfach in den Beitrag eines Mitglieds reinschreibst und diesen dabei sozusagen (durch das Zitat) zu deinem eigenen machst. Schreib doch einen neuen Beitrag, in dem du deine Kritik äußerst, und lass Ehos' Beitrag stehen. Kann es sein, dass du dich vor allem darüber geärgert hast, dass du schon einen hilfeleistenden Beitrag geschrieben hattest und Ehos dann mit einem Alternativvorschlag kam? Teufel

Ich finde übrigens, dass nur der erste Absatz in Ehos' Beitrag überflüssig ist. Alles andere ist in Ordnung und könnte dem Fragesteller sogar helfen.

Warum sich also so aufregen? verwirrt

19.02.2010, 14:24

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi:
Ich wollte zuerst den Beitrag entfernen und habe ihn dann etwas später doch wieder reingestellt. Ich finde auch nicht nur den ersten Absatz daneben, sondern auch Sätze wie:

Zitat:

In Deiner Aufgabe handelt es sich um eine Ebene im 3-dimensionalen Raum, die aber nicht mit Hilfe der obigen Parametergleichung angegeben wird...

Das ist schlicht und ergreifend eine Irreführung des Fragestellers, denn man kann eine Ebene im R³ natürlich so angeben. Ich habe mitnichten etwas gegen andere Ansätze (Ehos hat ja nur kurz nach mir geschrieben), sondern nur etwas dagegen, dass Ehos seine eigenen Ideen hier als das einzig Wahre ausgibt, ohne sich um die Begriffe die Johannes verwendet zu kümmern.

Ich werde versuchen die obige Autorenschaft etwas deutlicher zu gestalten. Einen nachgestellten Beitrag mit Hinweis halte ich hier aber für zu wenig, da Ehos' Beitrag seine subjektive Meinung als mathematische Wahrheit verkauft.

Gruß,
Reksilat.

19.02.2010, 15:10

JohannesF

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal für die Antworten. Also die Geometrische Darstellung von Ehos hat mit schon geholfen. Ie komme ich denn nun von dieser Darstellung:

$\begin{eqnarray*} M=x_0+L'=\{x:x_0+l,l \in L'\} \end{eqnarray*}$
auf diese:
$\begin{eqnarray*} \vec x=x_0+x_1t_1+ \vec x_2t_2+...+\vec x_nt_t \end{eqnarray*}$

@Reksilat
$\begin{eqnarray*} E-x_0 \end{eqnarray*}$ das dürften dann quasi geometrisch gedeutet die Richtungsvektoren sein. Und dann muss ich eig nur noch zeigen, das diese linear unabhängig sind, oder?

19.02.2010, 15:20

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E-x_0 \end{eqnarray*}$ das dürften dann quasi geometrisch gedeutet die Richtungsvektoren sein. Und dann muss ich eig nur noch zeigen, das diese linear unabhängig sind, oder?

Lineare Unabhängigkeit ist nicht drin, denn E ist ja eine Ebene, die im Allgemeinen doch aus unendlich vielen Vektoren besteht. Ebenso dann auch $\begin{eqnarray*} E-x_0 \end{eqnarray*}$ . Du kannst aber zeigen, dass die Menge ein Unterraum ist, denn das soll ja schließlich Dein L' für die lineare Mannigfaltigkeit werden.
Um das zu zeigen musst Du nur die Unterraumeigenschaften mit Hilfe der Definition Deiner Menge E nachrechnen.

Nachtrag:
Geometrisch gedeutet verschiebst Du die Ebene um den Vektor $\begin{eqnarray*} -x_0 \end{eqnarray*}$ . Da vorher bereits $\begin{eqnarray*} x_0\in E \end{eqnarray*}$ war, liegt nun der Nullpunkt in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Du hast also Deine Ebene so verschoben, dass sie durch den Nullpunkt geht.
Und eine lineare Mannigfaltigkeit, die den Nullpunkt beinhaltet, ist eben immer auch ein Unterraum.

19.02.2010, 15:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
dass Ehos seine eigenen Ideen hier als das einzig Wahre ausgibt, ohne sich um die Begriffe die Johannes verwendet zu kümmern.

Ich habe seinen Beitrag anders aufgenommen. Ich denke, mit dem Einbringen der Parameterform wollte er den Fragesteller dem Ziel näherbringen.

@JohannesF: Es geht hier übrigens lediglich um die Umrechnung der Normalenform in die Parameterform einer Ebene.

19.02.2010, 16:30

JohannesF

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber reicht das bloße umrechnen in die Parameterform zu?

Und jetzt noch mal formal.

Also ich such einen Vektor, der in E ist --> x_0. Dann zeige ich, das E-x_0 ein Unterraum ist.

19.02.2010, 17:18

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JohannesF
Aber reicht das bloße umrechnen in die Parameterform zu?

Was ist das denn für ein Deutsch? "zureichen" gibt es nicht. Du meinst sicherlich "ausreichen". Zu deiner Frage: Nicht ganz. Du musst diese natürlich noch interpretieren. Aber das ist sehr einfach.

Zitat:

Original von JohannesF
Also ich such einen Vektor, der in E ist

Ja, mach das erstmal.

19.02.2010, 17:49

JohannesF

Auf diesen Beitrag antworten »

Also einer wäre z.B.
$\begin{eqnarray*} \vec {x_0}=\begin{pmatrix} -\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \\ \frac c{u_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch versucht das allgemein zu lösen. dazu habe ich z=b und y=a gesetzt:
$\begin{eqnarray*} \vec{x_0}=\begin{pmatrix} \frac{c}{u_1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +a\cdot \begin{pmatrix}-\frac{u_2}{u_1} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +b\cdot \begin{pmatrix} -\frac{u_3}{u_1} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kommt da etwas anderes heraus.

Neue Frage »

Antworten »

lineare Mannigfaltigkeit

Verwandte Themen