Grenzwert einer rekursiven Folge

19.02.2010, 11:14

Janeway

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Grenzwert einer rekursiven Folge

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

$\begin{eqnarray*} y_0=\frac{1}{10}, y_n=2y_{n-1}-5y_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie, ob die rekursive definierte Folge konvergiert und bestimmen gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Ich wollte mit der Bestimmung des Grenzwertes beginnen, aber ich bekomme 2 unterschiedliche Ergebnisse für den Grenzwert heraus und der Grenzwert einer Folge ist ja eindeutig.

Ich habe das so gemacht:

Angenommen die Folge $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen den Grenzwert g. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (y_n) = \lim_{n \to \infty} (2y_{n-1}-5y_{n-1}^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g = \lim_{n \to \infty} (2y_{n-1})- \lim_{n \to \infty} (5y_{n-1}^2) \end{eqnarray*}$

Weil: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} y_{n-1} \end{eqnarray*}$ darf ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} g = 2g- 5g^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 = g - 5g^2 \end{eqnarray*}$

und das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen 0 und 1/5.

Womit ich 2 Grenzwerte hätte, was ja aber nicht sein kann, wenn die Folge konvergiert.

Wo ist denn mein Fehler?
Oder muss ich ganz anders ansetzen, wenn in der Rekursion das Rekursionsglied einmal linear und einmal quadratisch auftaucht?

19.02.2010, 11:23

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge
Du drehst eine Implikation fälschlicherweise um. Es gilt:

Wenn es einen Grenzwert gibt, dann erfüllt er die Gleichung $\begin{eqnarray*} g = 2g- 5g^2 \end{eqnarray*}$ .

Du machst daraus:

Alle Lösungen von $\begin{eqnarray*} g = 2g- 5g^2 \end{eqnarray*}$ sind Grenzwerte der Folge.

19.02.2010, 11:26

tmo

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Das ist erstmal kein Problem. Die Frage ist jetzt welcher der möglichen Grenzwerte angenommen wird oder ob überhaupt keiner angenommen wird.

Dazu schreiben wir mal

$\begin{eqnarray*} y_n =f(y_{n-1}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=2x-5x^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun berechne mal Nullstellen und Hochpunkt von f. Daraus kannst du dann Monotonie und Beschränktheit folgern. Und welcher Grenzwert dann in Frage kommt, siehst du dann auch.

19.02.2010, 11:27

Kühlkiste

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge
Du hast schon richtig gerechnet.
Allerdings ist zu beachten, dass der Grenzwert (und auch dessen Existenz) vom Startwert abhängt.

19.02.2010, 11:40

wisili

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge
Deine Rechnungen sind richtig. Nur muss jetzt der richtige Schluss gezogen werden:
Wenn die Folge konvergiert (was mit deinem Vorgehen bis jetzt noch nicht gesichert ist),
dann kommt als Grenzwert nur 0 oder 1/5 in Frage.
Ob sie konvergiert und wenn ja, welcher der beiden Grenzwerte gilt, ist noch zu klären.

Edit: sorry, zu spät

19.02.2010, 11:42

Janeway

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Ah, mir dämmert einiges.

Das f(X) von tmo hat als Maximum 1/5 und wäre damit der Grenzwert und nicht 0.

Was Kühlkiste sagt, hört sich so an, als ob es am besten wäre, vor einer Grenzwertuntersuchung einer solchen Funktion erst einmal die explizite Darstellung zu berechnen. Sowas ist schwierig, das weiß ich noch aus Erfahrung.

Mit dem potentiellen Grenzwert kann ich die Beschränktheit beweisen. Das hab ich schon gemacht (ich schreib's nachher mal auf, weil ich gleich los muss).

Danke schon mal euch allen!

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19.02.2010, 14:29

Janeway

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Bei der Anregung von tmo ist mir noch etwas aufgefallen:

Die Nullstellen x=0 und x=2/5 der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x-5x^2 \end{eqnarray*}$ hängen mit der Konvergenz der Folge zusammen.

Wenn der Startwert so liegt, dass er zwischen den Nullstellen liegt also: $\begin{eqnarray*} y_0 \in \left[0,\frac{2}{5} \right] \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert die Folge glaube ich immer gegen 1/5.

Stimmt das?

Kann man das Intervall für den Startwert, für das die Folge konvergiert (wenn es nur ein Intervall ist und nicht für alle Startwerte gilt), immer auf diese Weise berechnen?

Ich verstehe auch noch nicht, warum die "Nullstellen der Folge" dieses Intervall beschreiben, in dem die Folge konvergiert.

19.02.2010, 14:30

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Janeway
Was Kühlkiste sagt, hört sich so an, als ob es am besten wäre, vor einer Grenzwertuntersuchung einer solchen Funktion erst einmal die explizite Darstellung zu berechnen.

Keine Ahnung ob sich das so anhört. So war es jedenfalls nicht gemeint und in diesem Fall würde ich auch eher davon abraten, weil:

Zitat:

Original von Janeway
Sowas ist schwierig, das weiß ich noch aus Erfahrung.

Hier ist es wohl am günstigsten zunächst die Beschränktheit und dann die Monotonie zu beweisen.

Übrigens kommt beim Beweis der Beschränktheit (der ja via Induktion läuft) dann auch der Startwert ins Spiel.

19.02.2010, 14:48

Janeway

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Ja, genau die Beschränktheit habe ich so bewiesen:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} y_n \leq \frac{1}{5} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} y_0=\frac{1}{10} \leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ist wahr

Induktionsschritt:

Ich will zeigen, dass mit $\begin{eqnarray*} y_n \leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} y_{n+1} \leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Beim Ungleichheitszeichen wird die Induktionsannahme reingesteckt:

$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = 2y_n - 5y_n^2 \leq \frac{2}{5} - 5 \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Womit die Beschränktheit gezeigt wäre.

19.02.2010, 15:06

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Janeway
$\begin{eqnarray*} 2y_n - 5y_n^2 \leq \frac{2}{5} - 5 \cdot \frac{1}{25} \end{eqnarray*}$

Ganz so einfach ist die Sache nicht, denn die Abschätzung gilt wegen des negativen Faktors -5 nicht.

Betrachte stattdessen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac 15 - \underbrace{5\left(a_n-\frac 15\right)^2}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 15:34

tmo

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Wenn man den Hochpunkt von f berechnet hat, ist die Beschränkheit nach oben doch trivial verwirrt

verwirrt

19.02.2010, 15:45

Kühlkiste

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Zitat:

Original von tmo
Wenn man den Hochpunkt von f berechnet hat, ist die Beschränkheit nach oben doch trivial verwirrt

verwirrt

Das stimmt wohl. Allerdings kann man nicht unterstellen, dass die Differentialrechnung in diesem Zusammenhang als Handwerkszeug parat steht.

19.02.2010, 18:12

Janeway

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Ah, genial!

$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = 2y_n - 5y_n^2= \frac{1}{5} - 5y_n^2 + \frac{10}{5}y_n - \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{5} - 5(y_n^2 - \frac{2}{5}y_n + \frac{1}{25}) = \frac{1}{5} - 5(y_n - \frac{1}{5})^2 \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} y_n\leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ist die Klammer also kleiner als Null, das Quadrat aber wieder größer als Null und damit wird von 1/5 etwas Positives abgezogen und damit gilt dann, was man im Induktionsschritt zeigen wollte.

Danke!

@tmo: Du meintest doch, ich soll die Nullstellen von f ausrechnen?
Warum konvergiert die Folge nur, wenn der Startwert in dem Intervall der Nullstellen liegt? Von dem Trick hab ich noch nie gehört, den finde ich total gut. Nur leider versteh ich den mathematischen Grund dafür nicht.

19.02.2010, 19:17

tmo

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Wenn der Startwert negativ ist, ist die Folge offensichtlich monoton fallend. Und dann können die beiden möglichen Grenzwerte (die nichtnegativ sind) sicher nie erreicht werden.

19.02.2010, 19:22

Janeway

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Ach ja, klar, stimmt.

Und wenn der Starwert größer ist als 2/5 ist die Folge auch monoton fallend und erreicht keinen der beiden möglichen Grenzwerte.

19.02.2010, 19:45

tmo

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Zitat:

Original von Janeway
Und wenn der Starwert größer ist als 2/5 ist die Folge auch monoton fallend und erreicht keinen der beiden möglichen Grenzwerte.

Dann ist vor allem der erste Wert nach dem Startwert negativ und ab dann ist es ja so als wäre der Startwert negativ Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2010, 19:56

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Janeway
Ach ja, klar, stimmt.

Und wenn der Starwert größer ist als 2/5 ist die Folge auch monoton fallend und erreicht keinen der beiden möglichen Grenzwerte.

Genau!

Zusammenfassend kann man also sagen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} y_n = \left\{ \begin{array} {c@{ \quad: \quad} c } 0 & y_0=0 \vee y_0 = \frac 25 \\ \frac 15 & 0 < y_0 < \frac 25 \\ - \infty & \mbox{sonst} \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 21:30

Janeway

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Die Monotonie habe ich jetzt auch per Induktion bewiesen (ich habe es erst ganz lange direkt versucht, aber ich glaube das geht nicht, weil die Folge ja abhängig vom Grenzwert konvergiert oder divergiert).

Induktionsanfang ist trivial.

Induktionsschritt: Es ist z.z. $\begin{eqnarray*} y_{n+1}\leq y_{n+2} \end{eqnarray*}$ , unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} y_n \leq y_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich fange gleich mit der Induktionsannahme an:

$\begin{eqnarray*} y_n \leq y_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y_n - \frac{1}{5} \leq y_{n+1}- \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (y_n - \frac{1}{5})^2 \geq (y_{n+1}- \frac{1}{5})^2 \end{eqnarray*}$ das war lange mein Stolperdraht, da ich am Anfang fälschlicherweise das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht habe. Aber es gilt ja im Fall der Konvergenz $\begin{eqnarray*} y_n\leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt dann auch $\begin{eqnarray*} y_n - \frac{1}{5} \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{n+1} - \frac{1}{5} \leq 0 \end{eqnarray*}$ , wenn ich das dann quadriere muss ich das Ungleichheitszeichen umdrehen, da ich ja dann im positiven Bereich bin.

Jetzt sollte es reine Formsache sein:

$\begin{eqnarray*} -5(y_{n} - \frac{1}{5})^2 \leq -5(y_{n+1} - \frac{1}{5})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} -5(y_{n} - \frac{1}{5})^2 \leq \frac{1}{5}-5(y_{n+1} - \frac{1}{5})^2 \end{eqnarray*}$

und das war mit dem Trick von Kühlkiste:

$\begin{eqnarray*} y_{n+1}\leq y_{n+2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

19.02.2010, 21:44

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)-x \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt die Monotonie direkt aus der Beschränktheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

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