Folgengrenzwert -> E-Funktion

19.02.2010, 11:05	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgengrenzwert -> E-Funktion Ich versuche zu verstehen wieso $\begin{eqnarray} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}(\frac{n+3}{n+2})^{2n-2} \end{eqnarray}$ gegen e^2 konvergiert. Auf den ersten Blick hat die Funktion eine gewisse Ähnlichkeit zu der E-FUnktion: $\begin{eqnarray} e^{x}=(1+\frac{x}{n})^{n} \end{eqnarray}$ Aber ich habe nicht die leiseste Ahnung wie ich da rechnerisch hinkomme. Alleine bei der Berechnung ob die Folge überhaupt konvergiert, komme ich mit dem Quotientenkriterium nicht weiter mal vond er konkreten Berechnung des Grenzwertes abgesehen. Wie löse ich sowas rechnerisch? Abschätzung ist imho keine akzeptable Lösung denn ich müsste für eine genaue Abschätzung ja ein großes n wählen und das ist rechnerisch in der Klausur kaum machbar. Anderes Beispiel wäre: $\begin{eqnarray} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}(1-\frac{2}{n^{2}})^{n^{2}-1} \end{eqnarray}$ welches gegen e^(-2) konvergiert. Die Frage ist die gleiche, wie bestimmt man sowas!?
19.02.2010, 11:17	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgengrenzwert -> E-Funktion Um die Aufgabe dem Bekannten anzunähern: Mache eine Indexverschiebung: Ersetze n durch n-2. Und faktorisiere den Exponenten.
19.02.2010, 13:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n+3}{n+2} = 1 + \frac 1 {n+2} \end{eqnarray}$

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