Differenzialquotient

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gimmead Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialquotient
f(x) = x^2 - 4
(x0 = 1)

Die Formel ist mir bekannt! Nur verstehe ich nicht wie man in diese einsetzt?
Ich brauche bitte einen hilfreichen Tip!? Was ist der erste Rechenschritt?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Rechenschritt wäre die Formel aufzuschreiben Augenzwinkern

Danach setzt du für jedes den entsprechenden Wert ein und rechnest weiter.
MrPink86 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal geht es hier nicht um Differentiale sondern um Differenzen, genauer um den Quotient der Differenzen.

Dieser ist definiert als



Und nun setz doch einfach mal ein und ab geht die Lutzi Augenzwinkern
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist meine erste Rechnung dieser art...

f(x) = x^2 - 4 und x0 = 1

in die formel eingesetzt: lim (x^2-4) - f(1) / x - 1

Bin mir aber nicht sicher? welche zahl ist f? und woher soll man x nehmen?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

f ist keine Zahl, f ist deine Funktionsvorschrift, , was ist also damit ?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

x0 = 1
daher: f(1)

und woher kommt dann x?

Stimmt dies soweit?

Mfg
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber du kannst f(1) ja ausrechnen, die Funktion ist ja angegeben.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist eine sache die ich nicht verstehe? Es ist doch nur x0 gegeben! Wie rechne ich diese funktion aus?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gegeben sowie , was hindert dich daran, auszurechnen? Um das andere x kümmern wir uns später.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollte ich ausrechnen? Das bedeutet doch nur 1 ist der Funktionswert an der Stelle x0? Oder es müsste so lauten: x^2 - 4 - 1 ??
Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es bedeutet , also ist , also können wir den Funktionswert FÜR die Stelle berechnen.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde einfach nicht schlau daraus... Die Funktion f ist doch 1 auf der x-achse? mfg Gib mir bitte einen tip?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du überhaupt was die Schreibweise f(1) bedeutet? Das wäre nämlich von Vorteil für diese Aufgabe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich formuliere die Frage mal so:

@gimmead: hast du jemals im Leben verstanden, was eine Funktion ist bzw. wie man Funktionswerte einer Funktion bestimmt?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, jetzt nicht mehr so richtig! Was bedeutet es genau??
Das ist meine erste aufgabe zum Kapitel Differenzialrechnung! Gebt mir eine chance Forum Kloppe
Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn noch was eine Funktion ist? Was macht eine Funktion aus, welche Eigenschaften hat eine Funktion?

Damit wir dir eine Chance geben, solltest du uns schon etwas entgegenkommen und über dein bisheriges Vorwissen aufklären, meine Kristallkugel die mir das sonst immer sagt ist beim letzten Mal nicht durch den TÜV gekommen.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Eine funktion ist eine eindeutige zuordnung der elemente zweier mengen.
Lass bitte diese Sprüche und hilf mir lieber bei der aufgabe. Hilft mir der Differenzenquotient weiter?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Um dir bei der Aufgabe zu helfen, müsste ich aber wissen welche Methoden ich dir zumuten kann. Wenn es bei dir beim simplen Berechnen des Funktionswertes für x=1 hapert, dann frag ich lieber nach ob die Probleme vllt. schon wo anders anfangen.

Wir arbeiten schon mit dem Differentialquotienten, den sollen wir ja verwenden um die Steigung zu bestimmen, aber wir waren dabei stehen geblieben f(1) auszurechnen. Der Ausdruck bedeutet einfach nur, dass wir jetzt den zu zugehörigen y-Wert suchen, also setz doch einfach mal für jedes x in der Funktionsvorschrift 1 ein und rechne aus.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich für jedes x 1 einsetzte:

1^2 - 4 - f(1) / 1 - 1

ist das bei dir die funktionsvorschrift?

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir nochmal vorne an, hier geht grad sehr viel durcheinander...

Wir haben gegeben (ist dir diese Formel bekannt?). Da du die Aufgabe auch nicht angegeben hast vermute ich mal, dass nach der Steigung im Punkt gefragt ist. Dazu müssen wir den Grenzwert des Differentialquotienten bilden für , dafür setzen wir erst mal ein und erhalten: . Würden wir jetzt direkt den Grenzwert bilden, so hätten wir im Nenner 0 stehen, was natürlich nicht erlaubt ist, also müssen wir versuchen das soweit umzuformen, damit wir den Grenzwert bilden dürfen. Dazu ist der erste Schritt, auszurechnen.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist: Wie groß ist der Differenzialquotient?

Die Formel ist mir bekannt.

Es funktioniert nicht. Mit dem ausruck f(1) allein kann ich nichts anfangen. Sorry, dass ich dich mit meiner Unwissenheit belästigt habe. Habe großen nachholbedarf...

Sag mir bitte noch die lösung zu f(1) = ?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist es denn mit der Formel , das wäre eine Alternative zur Berechnung des Differentialquotienten.

Du hast mich ja nicht belästigt, es ist nur lästig, über 10 Rückfragen und 5 Ecken zu erfahren, dass das eigentlich Problem woanders liegt. Dann würde man sich die Zeit sparen und direkt am Problem ansetzen.

Nun zur Berechnung des Funktionswerts einer Funktion:

Nehmen wir uns mal eine Beispielsfunktion, . Du hast ja selber schon gesagt, dass eine Funktion eine Zuordnung ist, und zwar wird einem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. Wenn wir jetzt den y-Wert für einen bestimmen x-Wert bestimmen wollen, z.B. wollen wir jetzt den Funktionswert für x=2, ersetzen wir jedes x durch diesen Wert, also durch 2: . Damit man nicht immer den Term so hinschreiben muss, schreibt man dafür einfach , das heißt nichts anderes, als dass wir den Funktionswert für x=2 berechnen.

, also ist der y-Wert an dieser Stelle 5.
MrPink86 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gimmead
Sorry, dass ich dich mit meiner Unwissenheit belästigt habe. Habe großen nachholbedarf...

Sag mir bitte noch die lösung zu f(1) = ?

Mfg


Das Problem ist nicht deine Unwissenheit sondern eher wie du hier auftrittst.

Versuch doch auf Iorek einzugehen und beantworte die Fragen, denn es hapert hier offensichtlich mit dem mathematischen Hintergrundwissen. Wenn wir dir die Lösung hinknallen, knallst du im nächsten Mathe-Test richtig hin weil du nicht verstanden hast was du machst.

Der Differenzenquotient ist der Grenzwert, der 2 Post's weiter vor diesem steht und den musst du einfach nur berechnen. Dann hast du auch die Steigung im Punkt x0.

Zitat:
Sag mir bitte noch die lösung zu f(1) = ?

Die hast du hier fast schon selbst berechnet aber noch nicht erkannt.
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

ok! Das mit der beispielfunktion verstehe ich ja! Jedes x wird mit der zahl 2 ersetzt! Auf mein beispiel bezogen:

y = f(1) = 1
es bedeutet also, dass y für f(x0) 1 ist?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dich damit auf mein Beispiel mit beziehst, dann stimmt das. smile

Wie ist das denn jetzt bei deiner Aufgabe, da ist die Funktion ja etwas anders, , was ist da der Wert für f(1)?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

ok! Wenn ich das x mit 1 ersetze! dann müsste es doch so lauten:

f(1) = 1^2 - 4 ??

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Das ganze kann man jetzt noch ausrechnen und dann hat man den Wert für f(1).

Wenden wir uns nun dem nächsten Problem zu; weißt du überhaupt, was du mit diesem Differentialquotienten erreichen willst, also wozu der gut ist und was man damit bestimmen will?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist f(1) = - 3

Den Differenzialquotienten brauche ich um eine änderungsrate einer Funktion zu erhalten(an der stelle x0).

Was ist dann genau der nä schritt?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Der nächste Schritt ist das Einsetzen von dem was wir ausgerechnet haben smile

Wir haben ja allgemein für den Differentialquotienten angegeben. Jetzt können wir die Werte die wir haben einsetzen (das x müssen wir aber erstmal stehen lassen, darüber wissen wir ja noch nichts). Setzen wir also ein, was wir gegeben haben: .

Wir wissen ja, dass f(1)=-3 ist, also können wir das einsetzen, und wir wissen auch, dass f(x)=x^2-4 ist, also können wir das auch einsetzen. Was erhalten wir dann damit?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

dann erhalten wir:

lim x^2 - 4 - (-3) / x - 1

stimmt dies soweit??

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das noch richtig aufschreiben würdest, wär es komplett richtig Augenzwinkern

Ich denke mal du meinst .

Rechts in der Leiste ist ein Link zu unserem Formeleditor, da kann man sich die Formeln zusammenstellen, danach einfach den Code für die Formeln rauskopieren und zwischen
code:
1:
[latex]Hier die Formel einfügen[/latex]
einfügen.

Jetzt können wir den Zähler noch weiter ausrechnen, und dann ist der nächste Schritt dran. Hast du schon einmal einen Grenzwert gebildet, ist dir der Limes-Begriff vertraut?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! Limes ist ein lateinisches wort für grenze.

Es ergibt dann also

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das lateinische Wort ist hier aber leider nicht nützlich Augenzwinkern

Eine formale Sache, bei dir fehlen Klammern, wenn du das nicht als Bruch schreibst, musst du jeweils um den Dividend und den Divisor eine Klammer setzen: .

Hast du denn schon eimal mit dem mathematischen Grenzwert gearbeitet, also könntest du jetzt berechnen?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

nun ja! Ich kann es leider nicht mehr! Was ist der nächste Schritt? Muss ich für x etwas einsetzen?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für x einsetzen geht in die richtige Richung.

Wir wollen den Grenzwert für x gegen 1 bestimmen, das heißt wir wollen letztendlich, dass x=1 wird. Wenn wir das jetzt direkt anwenden, tritt aber ein Problem auf, dann steht im Nenner nämlich etwas verbotenes.

Wir müssen die Gleichung also erst noch so umformen, dass wir gefahrlos x=1 einsetzen können. Dazu hilft es, den Zähler umzuformen. Welche Umformung bietet sich denn im Zähler an?
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

Würde man für x=1 einsetzen ergäbe dies im nenner 0! Im zähler allerdings auch? Wie meinst du das? Wie weit darf ich den zähler umformen?

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und eine 0 im Nenner darf natürlich nicht auftreten.

Im Zähler kann man eine bestimmte Formel anwenden und damit umformen. Tipp: Es gibt drei Stück dieser Art von Formel und wir brauchen die dritte Augenzwinkern
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja!
dann kürzt sich (x - 1) heraus.

Mfg
gimmead Auf diesen Beitrag antworten »

für x=1 dann ergibt die lösung: 2!

Das ist dann der Differenzialquotient!

Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt genau Freude
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