Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

19.02.2010, 14:28

Duedi

Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Hi!
Ich habe eine Behauptung aufgestellt, über deren Wahrheitswert ich mir im unklaren bin:
$\begin{eqnarray*} &&\text{Sei V ein Vektorraum mit Dimension n und f: } V\rightarrow V \text{ ein Endomorphismus.}\\ && \text{Dann gibt es bezüglich einer Basis} \text{ eine Darstellung dieser Funktion als } g + h \text{, wobei g Diagonalabbildung und h nilpotent.}\\&& \text{Dann erfüllt der Nilpotenzgrad m von h, also }h^m \equiv 0 \text{ folgende Eigenschaft: } m \leq n \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Edit: Hab das mal etwas justiert. Der Textteil war zu breit für meinen Bildschirm. Gruß, Reksilat. ;-)

19.02.2010, 15:01

Reksilat

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension
Hi Duedi,

Dim(V)=n solltest Du noch ergänzen. Augenzwinkern

Was genau ist denn Deine Behauptung? Dass so eine Zerlegung existiert stimmt nämlich im allgemeinen nicht, dazu müsste die Abbildung zum Beispiel triagonalisierbar sein, was etwa bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorräumen der Fall ist. Die zweite Behauptung ist dagegen schnell zu sehen, denn das Bild einer nilpotenten Abbildung muss mit jedem Schritt echt kleiner werden, da es andernfalls dauerhaft stationär wird.

Gruß,
Reksilat.

19.02.2010, 15:03

Duedi

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Vielen Dank für die Antwort! So eine Zerlegung gibt es also nicht einfach aufgrund der Jordannormalform der darstellenden Matrix?

19.02.2010, 15:05

Reksilat

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Die JNF existiert nur für triagonalisierbare Matrizen (sie stellt schließlich selbst eine Dreiecksgestalt dar).
Für die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt es dagegen keine JNF und keine solche Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

19.02.2010, 15:07

Duedi

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Hm natürlich, du hast Recht. Ich bin in dem Fall vermutlich davon ausgegangen, dass der Körper, auf dem der Vektorraum definiert ist, $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist.

19.02.2010, 15:37

WebFritzi

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Zitat:

Original von Reksilat
Dass so eine Zerlegung existiert, stimmt nämlich im allgemeinen nicht, dazu müsste die Abbildung zum Beispiel trigonalisierbar sein

Wieso das?

19.02.2010, 15:52

Reksilat

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension
Nehmen wir doch mal die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Beispiel. Es ist $\begin{eqnarray*} A^2=-E \end{eqnarray*}$ und diese Matrix ist unter Ähnlichkeitstransformation invariant.

Hast Du nun eine zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ähnliche Darstellung $\begin{eqnarray*} F+G \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ diagonal und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nilpotent der Stufe 2, dann ist $\begin{eqnarray*} A^2=(F+G)^2=F^2+2FG \end{eqnarray*}$ . Der Kern von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist nicht Null, also existiert ein $\begin{eqnarray*} 0\neq x\in{\rm Ker}(G) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} (F+G)^2x=F^2x \end{eqnarray*}$ .
Und wie soll bei einer reellen Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} F^2x=-x \end{eqnarray*}$ sein?

19.02.2010, 15:54

jester.

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Zitat:

Original von Reksilat
Für die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt es dagegen keine JNF und keine solche Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

So wie ich das in meiner Vorlesung zur LA gelernt habe, ist diese Matrix schon so gut wie in JNF (bis auf Vorzeichen), d.h. für Matrizen mit irreduziblem Minimal- / Charakteristischem Polynom nutzt man die Begleitmatrix als JNF (bzw. bei größerer Vielfachheit des irred. Faktors im Minimalpolynom nimmt man diesen Block dann mehrfach, sprich beispielsweise so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}0&-1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ \hline 0&1&0&-1 \\ 0&0&1&0 \end{array}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ).

Ich meine, was wäre denn das für eine Normalform, wenn Sie nicht in jeder Bahn der Konjugationsoperation läge? verwirrt

19.02.2010, 16:02

Reksilat

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@jester: Das wäre dann die Verallgemeinerung der JNF auf beliebige Körper: http://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform

Mit JNF meinte ich die klassische Dreiecksform. Augenzwinkern

19.02.2010, 16:13

jester.

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Ist mir klar, dass die meisten das meinen, wenn Sie "JNF" sagen. Aber so wie ich es gelernt habe, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0&0&-1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&-2 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Frobenius-Normalform der von mir oben angegebenen Matrix und die Form, die ich angegeben habe, in der Tat die JNF. Das ist ja in dem Sinne auch das Analogon zur "einfachen" JNF, so kann man zum Beispiel in der Form oben das Minimalpolynom ablesen, wie es in einfachen JNF auch geht.

Und was hat das mit "beliebigen Körpern" zu tun? $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ ist doch auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

19.02.2010, 16:23

Reksilat

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Die klassische JNF (mit der Dreiecksform) funktioniert prima für $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ oder andere algebraisch abgeschlossene Körper. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. beliebigen Körpern kann man sie nicht immer für alle linearen Abbildungen angeben und das ist unbefriedigend, da man am liebsten zu jeder Abbildung eine eindeutige Normalform haben möchte. Deshalb gibt es die verallgemeinerte Normalform (bzw. Frobenius-NF) für beliebige Körper, bei der man eben für jede Abbildung eine passende Normalform angeben kann.

Diese verallgemeinerte NF hat jetzt keine besonderen Nachteile, da die klassische JNF ja mitbehandelt wird, das Problem ist nur, dass sie noch etwas aufwendiger herzuleiten ist und deshalb gern mal weggelassen wird.

Für Duedis Problem oben ist aber sowieso nur die klassische JNF ausschlaggebend. Wenn sie exisiert, kann man solch eine Zerlegung offensichtlich angeben, wenn sie nicht exisiert, gibt es wie gesehen Gegenbeispiele.

Gruß,
Reksilat.

19.02.2010, 16:31

jester.

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Zitat:

Original von Reksilat
Für Duedis Problem oben ist aber sowieso nur die klassische JNF ausschlaggebend. Wenn sie exisiert, kann man solch eine Zerlegung offensichtlich angeben, wenn sie nicht exisiert, gibt es wie gesehen Gegenbeispiele.

Klar, ich wollte uns auch jetzt nicht allzu weit vom Thema abbringen. Wink

19.02.2010, 16:43

Duedi

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Danke für den Blick hinter den Tellerrand, sehr interessant smile

19.02.2010, 17:25

WebFritzi

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Zitat:

Original von Reksilat
Hast Du nun eine zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ähnliche Darstellung $\begin{eqnarray*} F+G \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ diagonal und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nilpotent der Stufe 2, dann ist $\begin{eqnarray*} A^2=(F+G)^2=F^2+2FG \end{eqnarray*}$ .

Bei dir kommutieren F und G? Augenzwinkern

19.02.2010, 17:51

Duedi

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Bei dir kommutieren F und G? Augenzwinkern

Das tun sie glaube ich immer, siehe Jordan-Chevalley-Zerlegung.

19.02.2010, 17:54

WebFritzi

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Ohne deinem Link zu folgen kann ich dir leicht ein Paar bestehend aus einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix geben, das nicht kommutiert.

19.02.2010, 17:56

Reksilat

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension
@Duedi: Da wird algebraische Abgeschlossenheit vorausgesetzt. Dann ist die Sache ja eh gegessen - aber das haben wir hier nicht.

@Fritzi: Stimmt! F und G kommutieren nicht. Da hab ich den Fehler gemacht. Hammer

Es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine passende Zerlegung. (Und demnach auch so ein angesprochenes Gegenbeispiel.)

Ich muss mal etwas nachdenken... verwirrt

Oder hast Du irgendwas in der Hinterhand Fritzi?

23.02.2010, 11:25

Reksilat

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension
So, ich hab mir das noch mal angeschaut. Für 2x2-Matrizen lässt sich über beliebigen Körpern anscheinend immer eine Zerlegung als Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix finden. (Die beiden Summanden vertauschen dann zwar nicht notwendigerweise, wie es ja über algebraisch abgeschlossenen Körpern gewährleistet werden kann, aber dafür gibt es sogar eine direkte Zerlegung, d.h. ich kann jede Matrix als diag+nilpotent schreiben, ohne auf ähnliche Matrizen ausweichen zu müssen.)

Meine Behauptung oben, dass die Zerlegung allgemein nicht existiert, beruht ja auf der Tatsache, dass die Existenz der Zerlegung allgemein nur trigonalisierbare Matrizen bekannt ist und ich dann dachte, schnell ein Gegenbeispiel gefunden zu haben. Gut, das Gegenbeispiel war falsch und für 2x2-Matrizen kann man auch keins finden. Mit 3x3-Matrizen rechnet es sich dagegen weitaus umständlicher und deshalb durfte Freund Computer ran. Ergebnis:
Über GF(2) gibt es keine zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ähnliche Matrix, die sich als Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix schreiben lässt.
Das müsst Ihr mir jetzt einfach glauben. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

23.02.2010, 13:25

WebFritzi

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Zitat:

Original von Reksilat
So, ich hab mir das noch mal angeschaut. Für 2x2-Matrizen lässt sich über beliebigen Körpern anscheinend immer eine Zerlegung als Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix finden.

Interessant. Hätte ich nicht gedacht. Was meinst du mit "anscheinend"?

Zitat:

Original von Reksilat
Ergebnis:
Über GF(2) gibt es keine zu [...] ähnliche Matrix, die sich als Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix schreiben lässt.
Das müsst Ihr mir jetzt einfach glauben. Augenzwinkern

Ich glaube dir. Augenzwinkern

Aber was ist GF(2)?

23.02.2010, 13:59

jester.

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension

Zitat:

Original von WebFritzi
Aber was ist GF(2)?

Das ist der auch als $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ bekannte Körper mit 2 Elementen. GF steht für "Galois field".

23.02.2010, 14:00

Reksilat

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RE: Zusammenhang Nilpotenzgrad <-> Dimension
Hoppla, habe in Hektik einen Fall unterschlagen. - Hatte das am Wochenende liegengelassen und auch nicht weiter durchdacht.
Bei nilpotenten 2x2-Matrizen müssen die beiden Elemente neben der Diagonalen immer unterschiedliche Vorzeichen haben, insofern ist eine solche direkte Zerlegung für Charakteristik $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ natürlich doch nicht möglich. Wir benötigen also die Einschränkung bis auf Ähnlichkeit.

Genauer für $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :
Eine nilpotente Matrix im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ ist die Nullmatrix oder sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x&y\\-\frac{x^2}{y}&-x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (bzw. transponiert)

Sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ seien verschieden, dann kann man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offensichtlich als Summe diag+nilp darstellen. Andernfalls kann man mit einer kleinen Ähnlichkeitstransformation dafür sorgen, dass die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ verschieden werden.

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ funktioniert das wohl auch, aber da dort nicht jede positive Zahl ein Quadrat ist, braucht man noch ein paar zusätzliche Überlegungen. Bei Körpern mit Charakteristik $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt auch noch keine Probleme entdecken können. - Ich habe halt noch keine allgemeine Konstruktionsvorschrift entwickelt und habe das auch nicht unbedingt vor. Deshalb "anscheinend". Augenzwinkern

Zitat:

Aber was ist GF(2)?

Der Körper mit zwei Elementen, $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . (GF=Galois Field)

Gruß,
Reksilat.

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