Grenzwert Sin(ax)/x x-->0

19.02.2010, 14:34

Georg III

Grenzwert Sin(ax)/x x-->0

Hallo,
wieso ist der Grenzwert Sin(ax)/x x->0. A? Mit L'Hospital kann man das wohl begründen. Aber der kommt im Buch hinter dieser Aufgabe. Also geht es auch ohne L'Hospital?

19.02.2010, 14:38

klarsoweit

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RE: Grenzwert Sin(ax)/x x-->0

Zitat:

Original von Georg III
wieso ist der Grenzwert Sin(ax)/x x->0.

19.02.2010, 14:41

Georg III

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Das meinte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a \cdot x)}{x}=a \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 14:47

klarsoweit

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Betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a \cdot x) - 0}{x - 0} \end{eqnarray*}$ . Das ist gleich f'(0) für f(x) = sin(a*x). Augenzwinkern

19.02.2010, 14:51

Georg III

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Hmm damit kann ich leider nichts anfangen.

19.02.2010, 15:02

klarsoweit

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Was daran verstehst du nicht?

19.02.2010, 15:14

Formelmonster

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Die Funktion ist nicht differenzierbar in 0 Du Horst!

19.02.2010, 15:19

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Formelmonster
Die Funktion ist nicht differenzierbar in 0 Du Horst!

$\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ diffbar Du Vollhorst.

Zu stult 'n korrekten Tipp zu raffen und dann unverschämt werden - bad style!

19.02.2010, 16:03

Georg III

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Also ich kann mit der Schreibweise nichts anfangen. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a \cdot x) - 0}{x - 0} \end{eqnarray*}$ Das scheint ja einfach die Ableitung zu sein. Aber in wie fern hilft mir das beim Grenzwert weiter?

Formelmonster war übrigens nicht ich.

19.02.2010, 16:05

Formelmonster

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Ah, wer Lesen kann ist klar im Vorteil Hammer

Natürlich hast Du mit deinem Beitrag Recht, ich habe das f(x) = sin(ax) großzügig überlesen.

Das mit dem Horst war nicht böse zu verstehen, ist bei mir hier so ne Floskel! Trotzdem war's unangebracht und ich bitte um Verzeihung.

Alternative: Zeige, dass sich sin(ax)/x in 0 stetig durch a ergänzen lässt. Formal:

$\begin{eqnarray*} \left\vert \frac{\sin(ax)}{x} - a \right\vert = \left\vert \frac{\sin(ax) -ax}{x} \right\vert \end{eqnarray*}$

Stetigkeit bedeutet nun, dass für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ der Betrag 0 werden muss. Nun ist ax das erste Glied der Reihenentwicklung von sin(ax). Also ersetzen wir sin(ax) durch seine Reihendarstellung und lassen das erste Glied fallen.

$\begin{eqnarray*} \left\vert \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right\vert = \left\vert a \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \right\vert \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ Wird der Wert der Reihe 0. Somit lässt sich die Funktion im Ursprung stetig durch a ergänzen.

Zugegeben, deine Lösung ist deutlich eleganter :-)

Was

19.02.2010, 16:07

Iorek

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Ich bezweifel mal stark, dass in der Schulmathematik die Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen auf dem Lehrplan steht.

19.02.2010, 16:07

stereo

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a \cdot x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a \cdot x) - 0}{x - 0} = f'(0) \quad \text{wenn } f(x)=\sin (a \cdot x) \end{eqnarray*}$

Du veränderst ja nichts an deinem Grenzwert, du addierst ledeglich eine 0 hinzu und bringst so die Ableitung ins Spiel.

19.02.2010, 16:13

Georg III

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Naja aber das ist ja letztendlich auch schon wieder fast l'Hospital.
Also bilde ich dann quasi den Grenzwert der Ableitung an der Stelle 0. Was dann a wäre.

19.02.2010, 18:53

WebFritzi

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Mensch meier...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(ax)} x = \lim_{x\to 0}\,\frac{a\sin(ax)}{ax} = a\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(ax)}{ax} = a\lim_{y\to 0}\,\frac{\sin(y)}{y} = a\cdot 1 = a. \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 19:20

Formelmonster

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Zitat:

Original von Georg III
Naja aber das ist ja letztendlich auch schon wieder fast l'Hospital.
Also bilde ich dann quasi den Grenzwert der Ableitung an der Stelle 0. Was dann a wäre.

Nein, nicht ganz.

Die Regel von de l'Hospital besagt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{ \sin{(ax)}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{a\cos{(ax)}}{1} =\lim_{x\to 0} a\cos{(ax)} = a \end{eqnarray*}$

Kühlkiste sagt hingegen: wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) := \sin{(ax)} \end{eqnarray*}$ . Diese ist überall differenzierbar und somit einerseits $\begin{eqnarray*} f'(x) = a\cos{(ax)} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} f'(0) = a \end{eqnarray*}$ . Andereseits ist f'(0) durch einen Differenzenquotienten definiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f( 0 + h ) - f(0)}{ h } \end{eqnarray*}$

Wenn du das weiter umformst, siehst du, dass das zufälligerweise genau der Grenzwert ist den du berechnen sollst. Du weißt aber dass f'(0) = a und daher kennst Du das Ergebnis des Grenzwerts.

P.S.: In meinem letzten Beitrag ist das allerletzte Gleichheitszeichen falsch, das wird glücklicherweise aber auch gar nicht gebraucht.

19.02.2010, 19:31

Kühlkiste

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@Formelmonster: Sieh an, sieh an - also doch kein Vollhorst... Augenzwinkern

Sollte weiteres Interesse an diesem Thema bestehen, dann empfehle ich diesen Thread: matheboard.de/thread.php?threadid=53286

19.02.2010, 20:04

Georg III

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Also mich würde nur noch Interessieren, das habe ich gerade in einem anderen Thread hier gelesen, warum die Methode mit dem Erweitern bei $\begin{eqnarray*} x\cdot\sin{\frac 1 x} \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert.

19.02.2010, 20:22

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Georg III
Also mich würde nur noch Interessieren, das habe ich gerade in einem anderen Thread hier gelesen, warum die Methode mit dem Erweitern bei $\begin{eqnarray*} x\cdot\sin{\frac 1 x} \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert.

Wenn Du damit das 'Zurückführen' auf den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

meinst - nun das liegt daran, dass hier ein ganz anderer Grenzwert betrachtet wird.

Es ist ja:

$\begin{eqnarray*} x\cdot\sin\left({\frac 1 x}\right)=\frac{\sin\left(\frac 1x\right)}{\frac 1x}. \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}x\cdot\sin\left({\frac 1 x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}x=0. \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 20:48

Georg III

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Wie kommt du von der Null auf Unendlich?

19.02.2010, 21:57

WebFritzi

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wenn x gegen Null geht, dann geht 1/x gegen Unendlich (und umgekehrt).

23.11.2010, 22:08

Kühlkiste

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Warum multiplizierst du am Anfang den Zähler und den Nenner mit a?