Farey- Nachbarn

19.02.2010, 20:31

datAnke

Farey- Nachbarn

Hallo

Sei
$\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Gesucht sind rationale Zahlen x, z , sodass x < y und auch y < z Farey-Nachbarn sind, und

$\begin{eqnarray*} | x-y| < \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z - y| < \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$
gilt

Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} y-x < \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > -\frac{1}{100}+\frac{2}{3}=\frac{199}{300} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - y < \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z < \frac{1}{100}+\frac{2}{3}=\frac{201}{300} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{199}{300}<x<y<\frac{201}{300} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{398}{600}<x<y<\frac{402}{600} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{399}{600}=\frac{133}{200} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{400}{600}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? oder wie berechnet man sowas?

danke
datAnke

20.02.2010, 00:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Farey- Nachbarn
Hallo!

Ja, dein x und y sind Farey-Nachbarn; allerdings sieht dein Ergebnis recht zufällig aus, da du nicht begründest, wieso es solche Nachbarn sein sollen.

Allerdings hat dein x nicht den kleinstmöglichen Nenner, so dass die geforderte Eigenschaft erfüllt ist. Ich nehme mal an, ein solcher Farey-Nachbar mit kleinstmöglichem Nenner ist gesucht?

Grüße Abakus smile

20.02.2010, 12:54

datAnke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Farey- Nachbarn
hallo Abakus,

naja einwenig hab ich da so ins blaue probiert, smile

wie geht es richtig? verwirrt

die aufgabenstellung ist so wie ich sie geschrieben habe,
eine loesung ist

$\begin{eqnarray*} x=\frac{23}{35}, y=\frac{23}{34} \end{eqnarray*}$

danke
datAnke

20.02.2010, 18:30

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Farey- Nachbarn

Zitat:

Original von datAnke
eine loesung ist

$\begin{eqnarray*} x=\frac{23}{35}, y=\frac{23}{34} \end{eqnarray*}$

Das ist die Lösung mit minimalem Nenner, ja (statt y solltest du z schreiben, denn y ist ja 2/3 nach Voraussetzung).

Dahin kommst du entweder durch Farey-Iteration/-Intervallschachtelung oder du nutzt die Eigenschaft aus, dass $\begin{eqnarray*} \frac a b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac c d \end{eqnarray*}$ genau dann Farey-Nachbarn sind, wenn $\begin{eqnarray*} ad - bc = -1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ansonsten schau bei Farey-Folgen (Wiki) erstmal, dort ist es gut erklärt.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Farey- Nachbarn

Verwandte Themen