Hilfe bei der Berechnung von Extremstellen

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Mathe-Legasteniker Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei der Berechnung von Extremstellen
Ich bräuchte etwas Hilfe bei der Gleichung:

f(x)= -x^2+5x-4 , bei der Findung des anzuwendenden Verfahrens zur Bestimmung der Extrempunkte.
Die Ableitungen sind kein Problem, nur sieht man ja das die PQ-Formel nicht greift.

Alsowelches Verfahren muss ich anwenden?

Danke schon einmal im voraus.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du die Extremstellen oder die Nullstellen des Graphen bestimmen? Wenn du als Funktion hast, brauchst du bei der Bestimmung der Extremstellen doch gar keine pq-Formel, das läuft ja auf eine lineare Gleichung hinaus.
 
 
Manu92+ Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x)=-2x+5
-> 0=-2x+5 | -5 |: (-2)
-> xe=5/2

Freude
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder schön eine Komplettlösung zu lesen, ohne dem Fragesteller auch nur die Chance zu geben auf eine Rückfrage/einen Tipp zu reagieren und zu antworten unglücklich
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, da hab ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen ..

Aber .. wir arbeiten ja Kurvendiskusionen zu, jetzt frag ich mich, wenn ich jetzt xe=2,5 habe "was sagt mir das jetzt?"

Jetzt habe ich keinen Hochpunkt und keinen Tiefpunkt .. (?)
Manu92+ Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hast du den x-wert vom hoch- bzw. tiefpunkt
den setzt du in die ausgangsgleichung ein und schon hasste deinen punkt
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke =)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei noch nichtmal sicher gestellt ist, dass es sich um einen Extrempunkt handelt, dafür fehlt die hinreichende Bedingung.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Parabel der Form y=ax²+bx+c hat einen Hoch-, bzw. Tiefpunkt, denn das ist der Scheitel (mit a ungleich 0).

Wofür noch Gedanken an eine hinreichende Bedingung bzw. zweite Ableitung verschwenden...smile

LGR
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, für quadratische Funktionen ist das überflüssig, allerdings ist die Vorgehensweise i.A. falsch, darauf wollte ich nur hinweisen. Gerade wenn man am Anfang der Differentialrechnung ist, sollte man sich Gedanken über so etwas machen, ansonsten hat man demnächst für f(x)=x³ einen Extrempunkt bei (0,0).
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

smile
Klar, hast auch Recht.

Nun weiß der Fragesteller aufgrund dessen wieder etwas mehr.

Ich wusste mit 49 Jahren noch nicht, dass die pq-Formel auch Mitternachtsformel heißt, mit der man quadr. Gleichungen löst, obwohl ich sie kannte...

Habt Spaß

LGR
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es ein bischen OT ist:

pq-Formel ist nicht gleich der Mitternachtsformel. Die pq-Formel funktioniert nur für Ausdrücke der Form x²+px+q=0, also wenn vor dem x² kein weiterer Vorfaktor steht (die Gleichung also in Normalform ist). Es ist dann .

Die Mitternachtformel funktioniert auch dann, wenn das x² einen Vorfaktor hat, also die Gleichung von der Form ax²+bx+c=0 ist. Damit erhält man dann (natürlich kann man jetzt sagen, dass die pq-Formel der Spezialfall der Mitternachtsformel für a=1 ist).

Um jetzt die PM von Mathe-Legastheniker zu beantworten (ich poste die Frage hier nochmal, damit alle anderen auch davon profitieren können):

Zitat:
Also, bei dem ganzen Hin und Her hab ich jett den Überblick verloren .. Ich erhalte bei der 1. Ableitung eine lineare Funktion, das bedeutet ich habe nur einen Hoch oder Tiefpunkt ? Und anschließend berechne die hinreichende Bedingung, indem ich f(x)= 0 setze und den errechneten Wert aus f(x)=-2x+5 ( erste Ableitung ), für alle x-werte in der Ausgangsgleichung ersetze .. oder ?


Du erhälst für nur eine Lösung, das heißt es kann höchstens einen Extrempunkt geben. Es ist aber im Allgemeinen noch nicht sichergestellt, dass es sich um einen Extrempunkt handelt, da nur die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist. Du musst mit der hinreichenden Bedingung noch überprüfen, ob es sich wirklich um einen Extrempunkt handelt. Dazu bildest du die zweite Ableitung, setzt die errechneten Werte für x ein und betrachtest das Ergebnis. Wenn , dann hast du einen Hochpunkt, wenn , dann hast du einen Tiefpunkt. Wenn aber ist, kannst du noch keine Aussage treffen, ob es sich um einen Extrempunkt handelt und musst die Funktion weiter untersuchen.
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da die 2. Ableitung ist, hab ich gar kein x, welches ich durch eine Zahl ersetzen kann, steht da nur:


?
Damit kann ich doch aber auch nichts anfangen^^


Tut mir leid, ich bin ein sehr sehr schwerer Fall =/
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion f(x)=-2 ist einfach -2 für alle x die du einsetzt Augenzwinkern

Ganz egal welchen x-Wert du einsetzen willst, es wird immer -2 als Funktionswert rauskommen.
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay =)

Vielen Dank, jetzt muss mein Kopf am Montag nicht rollen, weil ichs wieder nicht auf die Reihe bekommen habe Gott
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was bekommst du denn nun für ein Ergebnis raus? smile
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüf nochmal deine Formel:

Unter der Wurzel muss -q stehen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternacht....B6sungsformeln

LGR
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Blöder Tippfehler...danke für den Hinweis smile
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

hä?

Da gibs doch gar nichts mit PQ-Formel, weil ich kein x^2 habe in den ableitungen ..
Oder hab ich jetzt was nich mitbekommen ?

Ich hab raus :

Der Hochpunkt der Funktion ist (2,5/-2)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der pq-Formel war eben zwischen Rechenschieber und mir ein klein wenig Off Topic, einfach ignorieren Augenzwinkern

Ich habe einen anderen y-Wert für den Hochpunkt raus, du hast dich wahrscheinlich verrechnet smile
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es wurde hier doch gesagt, das man egal was man einsetzt als x-wert, immer -2 herausbekommen würde ..

Zuerst hatte ich für y 1,75 raus, aber nach dem post mit der besagten -2, hab ich dieses verworfen ..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In der zweiten Ableitung bekommst du immer -2 raus, . Das war aber nur für die hinreichende Bedingung notwendig, -2<0, also haben wir einen Hochpunkt. Um den Punkt selber jetzt aber zu bestimmen, musst du das natürlich in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ja aber 2 Möglichkeiten ..

Und eig nehm ich immer die in der ich den errechneten Wert aus der Notwendign Bedingung, in die 2. Ableitungsformel einsetze .. also

<- aber damit kann ich ja gar nicht rechnen, oder ?

Oder bedeutet das jetzt einfach nur das es "ungleich" 0 ist ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ungleich null. Für alle x die du einsetzt, ist die zweite Ableitung = -2, also auch f''(2,5)=-2<0

Wo gibt es denn 2 Möglichkeiten? Wir hatten doch nur eine mögliche Extremstelle berechnet.
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt 2 Möglichkeiten die hinreichende Bedingung zu berechnen, meinte ich ^^

entschuldige wenn ich das schlecht formuliert habe
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber wir sind uns mittlerweile einig, dass f''(2,5)=-2 ist, oder? smile

Also haben wir einen ...punkt, jetzt müssen wir nur noch die Koordinaten des Punktes bestimmen.

Dafür setzen wir den x-Wert in die Ausgangsgleichung ein, also f(2,5)=...
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Och manno unglücklich

Ich hab jetzt so gerechnet:

3. koordinaten






Als Ergebnis hab ich jetzt notiert: Die Koordinaten des Hochpunkts sind (2,25/-18) ..
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich habe meinen fehler gefunden.

da ich ja nur einen x wert ermitteln konnte aufgrund dessen das wir eine lineare funktion als 1. Ableitung haben, habe ich auch nur eine "formel" die zu den passenden Koordinaten führen kann, ganz logisch -.- Big Laugh

Also müsste der Tiefpunkt (weil 2,25 > 0) bei (2,5/2,25) liegen .
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum rechnest du f(-2)? Das hat doch gar nichts mehr damit zu tun...

f(2,5)=2,25 stimmt aber smile

Edit: Warum Tiefpunkt?
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil, wenn das Ergebnis ungleich Null und/oder > Null liegt ein Tiefpunkt vor ..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar richtig, aber du wendest das auf die falsche Sache an. Also nochmal als Zusammenfassung:

Du bestimmst die erste Ableitung, setzt diese gleich null und rechnest die x-Werte aus. Das sind deine MÖGLICHEN Extrempunkte. Um zu Überprüfen ob es Extrempunkte sind, setzt du die x-Werte in die ZWEITE Ableitung ein. Wenn du in der ZWEITEN Ableitung dann etwas GRÖßER null bekommst, ist es ein Tiefpunkt, bei etwas KLEINER null ein Hochpunkt. Das betrifft aber nur die ZWEITE Ableitung. Wir haben eben gesagt, dass f''(2,5)=-2<0 ist, also ist es ein HOCHPUNKT. Jetzt müssen wir die Koordinaten des Punktes noch bestimmen, dazu setzen wir den x-Wert des Extrempunktes in die AUSGANGSFUNKTION ein. Was du dann rausbekommst, ist einfach die y-Koordinate des Extrempunktes, das hat aber keine Auswirkungen darauf, ob es nun ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

es liegt also ein Hochpunkt bei (2,5/2,25) vor.

Die notwendige Bedingung ist das wir die erste Ableitung =0 setzen und den (oder die) X-Werte, jedoch muss ich mit der hinreichenden Bedingung noch feststellen um welche Art von Extrempunkt es sich handelt, dazu setze ich, den errechneten X-wert in die 2. Ableitung ein.

Im 3.Schritt errechne ich nur die Koordinaten, die keinen Einfluss mehr darauf haben, ob ein Hoch-oder Tiefpunkt vorliegt, sondern nur wo sich sich der Hoch oder Tiefpunkt befindet.

Das mach ich, indem ich den/die X-wert(e) in die Ausgangsformel einsetze und ausrechne.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt alles smile
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Wuhuuuuu =')

Das Problem ist nur, jetzt hab ich schon wieder eine neue Aufgabe :

.. so, die Ableitungen sind kein Problem, ich stehe jetzt hier :

1. Ableitung:

<- Hier kann ich wieder nicht die PQ-Formel anwenden, aber auch nicht einfach "weg-rechnen", wie in der vorherigen Aufgabe... (erstes halbjahr war die Hölle für mich, die ganzen Verfahren kann ich nicht wirklich gut .. Substitutionsverfahren,Polynomdarstellung usw .. =/)

2. Ableitung:

<- Die interessiert mich ja erst im 3. Schritt ..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Klammer in der ersten Ableitung ein x aus smile
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann das wirklich irgendeins von den beiden sein ?

Weil ich komme nach dem ausklammern wieder aufs selbe Ergebnis unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du x ausklammerst, dann bekommst du doch ein Produkt, der eine Faktor ist dein x, der zweite Faktor ist die Klammer, und das ist einfach nur noch eine quadratische Funktion. Oder was meinst du? Wie klammerst du denn aus?
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einfach nur ein x weggenommen :

<- ?^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das geht ja nicht, wenn du aus dem einen Summanden ein x nimmst, musst du auch aus dem anderen eins nehmen. .
Mathe-Legasteniker91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also .. ?
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