Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck

20.02.2010, 15:02

barthcar

Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck

Hi Leute

ich schreibe nächste Woche Klausur in Analysis 3 und bin ein bisschen am verzweifeln. Mit DGLen komme ich ganz gut klar, aber Randwertprobleme mit Fouriermethode und Green'scher Funktion sind mir irgendwie rätselhaft. Wäre auch dankbar für irgendeinen Link oder so, der dass richtig gut erklärt.

Folgende Aufgabe bereitet mir kopfzerbrechen:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=(-1,1)\times(-1,1),\, \Gamma=\bigcup_{i=1}^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4 \end{eqnarray*}$ die vier Randseiten des Rechtecks $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Gamma_1=\{(x,-1):-1\leq x\leq 1\} \end{eqnarray*}$ sei die untere Seite des Rechtecks. Berechnen Sie mit Hilfe der Fouriermethode alla Eigenwerte und normierten Eigenfunktionen des EWP:

$\begin{eqnarray*} -\Delta u(x,y)=\lambda u(x,y)\qquad (x,y)\in \Omega \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x,y)=0\qquad (x,y)\in\Gamma_2\cup \Gamma_3\cup \Gamma_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial \nu}(x,y)=0\qquad (x,y)\in\Gamma_1 \end{eqnarray*}$

Mir wurde gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ dabei die Flächennormale (?), also in diesem Fall $\begin{eqnarray*} -y \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich über einen Separationsansatz löse, bekomme ich folgende zwei EWPs:

$\begin{eqnarray*} X''(x)+\mu X(x)=0;\, X(1)=0,\, X(-1)=0 \end{eqnarray*}$ und daraus
$\begin{eqnarray*} X(x)=a_{n1}\cos\sqrt{\mu}x;\, \mu=(n+\frac{1}{2})^2\pi^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} -Y(y)''=(\lambda-\mu)Y(y);\, Y(1)=0;\, \frac{\partial}{\partial(-y)}Y(-1)=0 \end{eqnarray*}$

Für die zweite Randbedingung für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann aber immer nur die triviale Lösung. Ist an meiner Vorgehensweise etwas falsch?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Carlo

20.02.2010, 16:23

WebFritzi

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck

Zitat:

Original von barthcar
Wenn ich über einen Separationsansatz löse

Zeig mal her...

20.02.2010, 16:41

barthcar

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck
Also wie meinst du dass? Soll ich meine Rechnung aufschreiben? Bitte:

Ansatz $\begin{eqnarray*} u(x,y)=X(x)\cdot Y(y) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} -\frac{X''}{X}=\frac{Y''}{Y}+\lambda=const.=\mu \end{eqnarray*}$

aus dem Randwertproblem für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} Y(y)=A_{n1}\sin\sqrt{\rho}y+A_{n2}\cos\sqrt{\rho}y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rho=\lambda-\mu \end{eqnarray*}$

weiter:

$\begin{eqnarray*} Y(1)=0=A_{n1}\sin\sqrt{\rho}+A_{n2}\cos\sqrt{\rho} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial}{\partial y}Y(-1)=-\sqrt{\rho}A_{n1}\cos\sqrt{\rho}+\sqrt{\rho}A_{n2}\sin(-\sqrt{\rho})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A_{n1}\sin\sqrt{\rho}+A_{n2}\cos\sqrt{\rho}=\sqrt{\rho}A_{n1}\cos\sqrt{\rho}+\sqrt{\rho}A_{n2}\sin\sqrt{\rho} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A_{n1}=A_{n2}=0 \end{eqnarray*}$

?????????

20.02.2010, 17:17

WebFritzi

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck

Zitat:

Original von barthcar
Ansatz $\begin{eqnarray*} u(x,y)=X(x)\cdot Y(y) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} -\frac{X''}{X}=\frac{Y''}{Y}+\lambda \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite steht doch aber lambda * u und nicht nur lambda.

20.02.2010, 17:25

barthcar

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck
Ich wusste nicht, dass ich jeden Zwischenschritt aufschreiben soll:

$\begin{eqnarray*} -\Delta u(x,y)=\lambda u(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -X''Y-Y''X=\lambda XY\quad \mid /(XY) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{X''}{Y}-\frac{Y''}{Y}=\lambda \end{eqnarray*}$

einverstanden?

20.02.2010, 18:51

WebFritzi

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck
Sorry, war n bisschen langsam... Hammer

Zitat:

Original von barthcar
Für die zweite Randbedingung für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann aber immer nur die triviale Lösung.

Ich nicht. Zumindest dann nicht, wenn

$\begin{eqnarray*} \lambda - \mu\notin\left\{0,\left(\frac{2k+1}{4}\right)^2\pi^2 : k\in\mathbb Z\right\}. \end{eqnarray*}$

21.02.2010, 12:35

barthcar

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RE: Dirichlet'sches Randwertproblem für Rechteck
Hi Webfritzi,

sorry dass ich gestern nicht mehr geschrieben habe. Könntest du mir vielleicht nochmal etwas genauer erklären wie du von dieser Zeile

$\begin{eqnarray*} A_{n1}\sin\sqrt{\rho}+A_{n2}\cos\sqrt{\rho}=\sqrt{\rho}A_{n1}\cos\sqrt{\rho}+\sqrt{\rho}A_{n2}\sin\sqrt{\rho} \end{eqnarray*}$

auf dein Ergebnis kommst?

Komme nicht ganz hinterher...

Carlo

21.02.2010, 16:08

WebFritzi

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Diese Zeile bringt dich nicht weiter, da du Informationen verlierst. Die beiden Seiten dieser Gleichung sind nicht nur gleich, sondern sogar gleich Null. Du hast dann ein lineares Gleichungssystem. Berechne dessen Determinante.

21.02.2010, 17:31

barthcar

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Meinst du diese Determinante?

$\begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{lr}A_{n1}\sin\sqrt{\rho} & A_{n2}\cos\sqrt{\rho}\\\sqrt{\rho}A_{n1}\cos\sqrt{\rho} & \sqrt{\rho}A_{n2}\sin\sqrt{\rho}\end{array}\right| \end{eqnarray*}$

Da kommt aber nichts gescheites raus, weil wegen dem Minuszeichen sinus und cosinus nicht verschwinden.

Carlo

21.02.2010, 20:08

WebFritzi

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Du hattest recht. Entschuldige. Ich habe da was verwechselt. Im Falle $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{\rho}\neq 0 \end{eqnarray*}$ hast du die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} A_{n1}\sin(r) + A_{n2}\cos(r) &=& 0\\ A_{n1}\cos(r) + A_{n2}\sin(r) &=& 0. \end{eqnarray*}$

Das ist ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sin(r) & \cos(r)\\ \cos(r) & \sin(r)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{n1}\\A_{n2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Determinante sin²(r) - cos²(r) verschwindet also genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} r = \frac{(2k+1)\pi}{4}. \end{eqnarray*}$ Und genau dann gibt es nicht nur die triviale Lösung.

21.02.2010, 20:23

barthcar

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Also bei mir tauchen in der zweiten Gleichung noch Faktoren r auf die durchs ableiten entstehen. So:

$\begin{eqnarray*} A_{n1}\sin(r) + A_{n2}\cos(r) &=& 0\\ rA_{n1}\cos(r) + rA_{n2}\sin(r) &=& 0. \end{eqnarray*}$

Ich höre für heute auf darüber nachzudenken... Mein Kopf ist voll. So ganz ist mir dass alles noch nicht klar. Was kann ich jetzt aus diesem Ergebnis schließen. Hast du noch einen Tipp wo ich eine gute Erklärung zu diesem Thema finden kann?

Morgen werde ich weiter über diese Aufgabe nachdenken und ggbf. nochmal schreiben. Ich hoffe du kannst mir dann nochmal helfen Augenzwinkern

Erstmal vielen Dank...

Bis morgen

21.02.2010, 20:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von barthcar
Also bei mir tauchen in der zweiten Gleichung noch Faktoren r auf die durchs ableiten entstehen. So:

$\begin{eqnarray*} A_{n1}\sin(r) + A_{n2}\cos(r) &=& 0\\ rA_{n1}\cos(r) + rA_{n2}\sin(r) &=& 0. \end{eqnarray*}$

Und durch r teilen wir in der zweiten Gleichung erstmal, nicht wahr? Augenzwinkern

Dann kommst du auf meine Gleichungen.

Ob ich dir viel weiter helfen kann, weiß ich nicht so recht, denn ich bin aus diesem Separationsansatz-Kram schon lange raus.

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