Ungleichung

20.02.2010, 15:29

hut

Ungleichung

Hier eine kleine Aufgabe aus der 14.Mathematik-Olympiade, Klassen 11 und 12, 4.Runde. smile

Man beweise, dass für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<a \leq b \leq c \leq d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d} \end{eqnarray*}$

gilt.

tigerbine: Dann nehmen wir das doch als Wettbewerbtraining.

20.02.2010, 19:16

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Es bezeichne $\begin{eqnarray*} f(x) = x - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , dann kann man relativ zügig

$\begin{eqnarray*} f(x) + f(y) \leq f(xy) \;\,\mbox{für beliebige}\; x\geq 1,\, y\geq 1 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

nachweisen. Das ist schon mehr als die halbe Miete bei dieser Aufgabe. Augenzwinkern

04.03.2010, 19:37

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Keine Reaktion? Augenzwinkern

04.03.2010, 19:49

hut

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Huch, hab den Thread hier ganz vergessen... smile

Meinst du etwa das hier:
$\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{a} \leq b-\frac{1}{b} \leq c-\frac{1}{c} \leq d-\frac{1}{d} \end{eqnarray*}$

04.03.2010, 20:14

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Nein, das meine ich nicht, sondern: Durch zweimalige Anwendung von (*) folgt

$\begin{eqnarray*} f\left( \frac{b}{a} \right) + \left[ f\left( \frac{c}{b} \right) + f\left( \frac{d}{c} \right) \right] \leq f\left( \frac{b}{a} \right) + f\left( \frac{d}{b} \right) \leq f\left( \frac{d}{a} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was ausgeschrieben der Behauptung entspricht.

Bleibt also lediglich noch der Beweis von (*).

04.03.2010, 20:35

Equester

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*nichts mit Thema zu tun hat* (weiss aber nicht wie anders erreichen)

hut: Dein Postfach ist voll :P

(sry)

05.03.2010, 19:11

hut

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@tigerbine: Tut mir Leid, mir ist aber zu spät aufgefallen, dass es noch ein "Wettbewerbe"-Forum gibt.

Zu der Aufgabe: Muss ich jetzt beispielsweise nur $\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{a}+b-\frac{1}{b} \leq ab-\frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ beweisen?
Ich befürchte irgendwie, dass die Aufgabe zu hoch für mich ist (oder ich bin zu doof dafür würde es wohl besser treffen...)

Und Equester; das Problem wurde zur Kenntnis genommen und behoben. Big Laugh

05.03.2010, 19:39

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Zitat:

Original von hut
Muss ich jetzt beispielsweise nur $\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{a}+b-\frac{1}{b} \leq ab-\frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ beweisen?

Was heißt schon "müssen"? Dass ich es für den Weg oben benötige, habe ich doch hinreichend deutlich kenntlich gemacht.

Aber nicht für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ (diese Symbole sind durch die Werte der Aufgabe anderweitig belegt und somit nicht derart umdeutbar), sondern für beliebige $\begin{eqnarray*} x\geq 1,y\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

05.03.2010, 20:28

hut

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Ich kann ja nicht mal das nachweisen... unglücklich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) + f(y) \leq f(xy) \;\,\mbox{für beliebige}\; x\geq 1,\, y\geq 1 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y} \leq xy-\frac{1}{xy}<br /> \frac{x^{2}y-y+xy^{2}-x-x^{2}y^{2}+1}{xy} \leq 0<br /> x^{2}y-y+xy^{2}-x-x^{2}y^{2}\leq -1<br /> \end{eqnarray*}$

Tut mir schrecklich Leid, wenn ich schon wieder auf dem Holzweg bin traurig

05.03.2010, 21:00

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Naja, du musst ja irgendwie die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\geq 1,y\geq 1 \end{eqnarray*}$ einbeziehen, denn für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gilt diese Ungleichung ja nicht. Ein gewisses Auge braucht man schon dazu, es ist ja nicht irgendeine Schulaufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(xy)-f(x)-f(y) &=& xy-x-y+1 - \left(1-\frac{1}{y}-\frac{1}{x}+\frac{1}{xy} \right)\\ &=& (x-1)(y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

07.03.2010, 09:30

hut

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Danke dir vielmals. smile

Jetzt verstehe ich auch den gesamten Beweis. :P
Aber darf ich fragen, wie du so schnell darauf gekommen bist? Hast du das etwa sofort gesehen? geschockt

07.03.2010, 15:53

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Es ist leicht zu sehen, dass für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ Gleichheit in der Ungleichung eintritt. Also erscheint eine Polynomdivision von $\begin{eqnarray*} f(xy)-f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$ durch (bzw. anders ausgedrückt: Ausklammern von) $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ einen Versuch wert, was dann ja auch klappt.

08.03.2010, 09:30

hut

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Wow, nochmals danke. smile

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