Tan und Arctan differenzieren

20.02.2010, 19:47

Tangenter

Tan und Arctan differenzieren

Hallo,
wie differenziere ich diese beiden Funktionen? Über die Umkehrfunktion geht ja schlecht, da man ja jeweils die Ableitung der anderen Funktion braucht.

20.02.2010, 19:49

IfindU

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RE: Tan und Arctan differenzieren
Der Tangens ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

20.02.2010, 19:49

Airblader

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$\begin{eqnarray*} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$

Dann mit Quotientenregel ableiten. Den Arctan schaffst du dann über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Edit: Zu langsam. Big Laugh

air

20.02.2010, 19:49

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ sollte helfen.

Edit: Doppelt zu langsam sogar Oo

20.02.2010, 19:55

Tangenter

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Gut den Tan habe ich jetzt abgeleitet: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac 1 {\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ . Wie ist denn der Arctan definiert?

20.02.2010, 19:59

Airblader

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Als Umkehrfunktion zum Tangens.
Aber ich habe dir doch oben geschrieben, dass du am Besten den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion nimmst.

Die Ableitung des Tangens kennst du nun ja.

air

20.02.2010, 20:05

Tangenter

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Ja. Die Ableitung der Umkehrfunktion müsste ja so gehen, wenn ich das recht im Kopf habe:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\cos^2(\arctan(x)) \end{eqnarray*}$

Aber was kann ich jetzt damit anfangen?

20.02.2010, 20:12

Airblader

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Das ist die Ableitung vom arctan.
Wenn man mag lässt sich das noch vereinfachen zu

$\begin{eqnarray*} (\arctan x)' = \cos^2 \left( \arctan x \right) = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Dazu muss man ein bisschen mit trigonometrischen Eigenschaften wie tan(x)=sin(x)/cos(x) spielen. Aber prinzipiell ist dein Ergebnis in Ordnung.

air

20.02.2010, 20:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Airblader
Dazu muss man ein bisschen mit trigonometrischen Eigenschaften wie tan(x)=sin(x)/cos(x) spielen.

Das braucht man gar nicht:

$\begin{eqnarray*} tan'(x) = \frac d {dx}\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x). \end{eqnarray*}$

Jetzt den Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion anwenden.

20.02.2010, 20:54

Tangenter

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Das war es ja, was mich interessiert hat, wie man zu dem Endergebnis kommt. Daher wollte ich wissen, wie der Arctan definiert ist.

20.02.2010, 20:55

WebFritzi

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Der Arcustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Beachte auch meinen letzten Beitrag.

20.02.2010, 21:01

Tangenter

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Das ist natürlich eine Elegante Lösung. Man darf halt nur nicht in Versuchung kommen, den Trig. Pythagoras anzuwenden.