Inverse einer oberen Dreiecksmatrix

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer oberen Dreiecksmatrix
Huhuu!
habt ihr eine idee für mich wie man zeigen kann, dass die Inverse einer invertierbaren rechten oberen Dreieicksmatrix wieder eine rechte obere Dreiecksmatrix ist??

hatte da an die cramersche regel gedacht. also wenn man das LGS Ax = 0 betrachtet, mit A = obere Dreiecksmatrix.
dann sagt doch die cramer-regel, dass ist, wobei man die i-te Spalte in unsrem Fall durch den nullvektor ersetzt, oder??
und wenn einzige Lösung x = 0 rauskommt, ist A invertierbar. das problem ist nur, wie zeigt man dann, dass inv(A) wieder ne obere dreiecksmatrix ist ?? -- und vorallem ist das der richtige ansatz oder bin ich da auf dem ganz falschen weg....=?=?

viele grüße
kingskid
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist korrekt. Mit Hilfe von Determinanten lässt sich das lösen.

Wähle folgenden Ansatz: Betrachte AX = E unter der Vorraussetzung, dass A obere Dreieckmatrix ist und zeige, dass X dann ebenfalls obere Dreiecksmatrix sein muss.



Gruß, mercany
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
danke für den tipp!
... hab da mal bissle mit rumgerechnet:




... macht ja aber nicht so viel sinn... wie hast du das genau gemeint mit hilfe von determinanten zeigen?
weil wie ich die cramersche regel hier anwenden könnte ist mir nciht ganz klar...

viele grüße
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Cramersche Regel? sehe ich hier auch nicht.....
Determinanten? Mercany, erhelle uns bitte, das sehe ich auch nicht.




Meine Vorschläge:

Weg 1: Berechnung einer Inversen mit dem Gaußalgorithmus
.........

Weg 2: Spalte für Spalte abhaken
X sei Inverse zu A, es gilt also XA=E.
Was passiert, wenn X in der ersten Spalte (außer "oben") etwas anderes als Nuller hat? WIDERSPRUCH
Was passiert, wenn X mit obigen Nullern in der zweiten Spalte (außer "oben") usf.



Solltest du beide hinkriegen.
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... einfach dazu übergehen und die obere Dreiecksmatrix mit dem Inversen multiplizieren. Das heißt:



Wenn man mit der letzten Zeile von A anfängt und diese mit den Spalten der Inversen multipliziert, sollte man eigentlich sehen, dass die Elemente alle null sein müßen - oder? entsprechend sollte man dann b_nn folgern können. Danach die n-1 Zeile von A benutzen etc. etc.... Ist mir gerade so eingefallen, als spontaner Ansatz. Möglicherweise mit Denkfehler?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Sind noch kleine Fehler drin, zumal du nicht erklärst, was die sind.
Idee ist dabei aber die gleiche wie bei mir oben, Vorschlag 2.
 
 
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
vielen dank für eure tipps. ja der zweite weg gefällt mir Augenzwinkern

hab das nochmal für 3x3 aufgeschrieben:


zuerst noch ne frage, ne obere dreiecksmatrix ist nur invertierbar wenn ihre diagonalelemente ungleich 0 sind, oder??

hm, irgendwie weiß ich nicht wie ich das konkret aufschreiben kann - ja wenn da "unten" keine nuller stehen, dann komm man nicht auf die einheitsmatrix...also, wenn man die zeilen von A mit ersten Spalte von X multipliziert:





d.h. oder
wenn man davon ausgeht dass die erhält man weiter:
und

damit erhält man als erste spalte von x:

--- stimmt das so?
und das muss ich dann für bis durchmachen ??

viele grüße
kingskid
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