Basis eines Bilds von einer Matrix

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bibber Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Bilds von einer Matrix

Wie bestimme ich zu dieser Matrix.
1.Das Bild
2.Die Basis zum Bild

Vielen Dank im Voraus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild der Matrix geht wunderbar mit "Print" und dann in Paint einfügen. Augenzwinkern

Ich nehme mal an, du meinst das Bild der durch diese Matrix induzierten, linearen Abbildung.

Was sind denn deine bisherigen Ansätze, was hast du schon selbst überlegt?
 
 
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Also um das Bild zu Bestimmen.
Hab ich hier im Forum gefunden,das ich

Und dann hatte ich die Idee das GaußEliminationsverfahren anzuwenden.
Keine Ahnung ob es richtig ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich als Bild raus

Gauß Eliminationsverfahren Ergebnis


Und nun denke ich mal das Bild ist



Ist das soweit richtig???
Und wie bestimme ich nun die Basis davon ??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Und nun denke ich mal das Bild ist




So ein Schwachsinn! unglücklich Entschuldige bitte, aber wie kommst du darauf? Mathe hat nichts mit "ich vermute mal, dass..." zu tun. Man hält sich strikt an die Definitionen. Wie ist denn das Bild einer Matrix definiert?
bibber Auf diesen Beitrag antworten »


Vertausche 1.Zeile mit 3. Zeile

2.Zeile - 3.Zeile

3.Zeile - 1.Zeile


2.Zeile * 4 - 3.Zeile*5


So bin ich drauf gekommen Big Laugh
Aber vllt kannst du mir denn helfen.
Denn das mit dem Bild kapier ich leider gar net
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dir helfen soll, musst du erstmal auf meinen Beitrag eingehen.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.


Unfug! Wie wäre es, wenn du mal in dein Skript schaust? unglücklich
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Dann halt noch dazu
B(f) ist diejenige Teilmenge von W, die aus allen Vektoren besteht, die als
Bilder von Vektoren aus V auftreten.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenigstens was... In Mengenschreibweise gilt für eine nxm-Matrix:



Wenn die Matrix nicht die Nullmatrix ist, besteht diese Menge aus unendlich vielen Vektoren.

Man kann nun leicht zeigen, dass das Bild von A gerade die lineare Hülle (der Span) der Spalten von A (bzw. der Zeilen von ) ist. Die ändert sich beim Gaußschen Eliminationsverfahren nicht.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Okay erstmal vielen Dank und wie geht das???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
und wie geht das???


Wie geht was?
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Wie krieg ich nun aus meiner o.g. Matrix das Bild heraus
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du mal ein wenig deinen Grips anstrengst. Ich habe dir alle nötigen Informationen gegeben. Wenn dir Begriffe dabei nicht klar sind, frag nach. Aber das solltest du als Hochschüler selber wissen.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich transformiere die Matrix wende ich das Gauß Eliminationsverfahren an
versuch es zu der einer der beiden Matrix zu bekommne

x x x
0 x x
0 0 x

oder

x x x
0 x x
0 0 0

So wenn ich eins der beiden Matrizen habe.
Schau ich mir die Zeilenvektoren an und hab mein Bild.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gaußsche Eliminationsverfahren kann auch mit einer einzigen Nicht-Null-Zeile enden.

Und wenn du immernoch denkst, das Bild bestünde aus den Zeilenvektoren, ie du am Ende bekommst, dann lies dir nochmal ganz sorgfältig jeden Beitrag in diesem Thread durch.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß doch einfach nicht was das Bild sein soll.
Ich kapier es doch einfach nicht, sonst würde ich doch nicht danach fragen.
Bring doch mal bitte ein Beispiel.
Und hör bitte auf mit den Definitionen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Und hör bitte auf mit den Definitionen.


LooooL Big Laugh Entschuldige, aber das ist Mathematik, bibber. Gewöhn dich dran. Erstmal müssen die Dinge definiert werden. Dann kann man von ihnen reden. Ich habe dir das Bild oben definiert. Ich lege dir nocheinmal nahe, nachzufragen, wenn dir Begriffe (auch innerhalb von Definitionen) nicht klar sind.

Ich habe den Eindruck, dass du hier fix durch willst. Einfach nur eine Regel zum Merken, und dann geht's mit Schema F. Aber so geht das mit Mathe nicht. Erst recht nicht an der Uni. Häng dich rein und versuche zu verstehen!

Wie gesagt: ich habe dir alle Informationen gegeben, die du benötigst.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist nun.
Ich möchte doch nur ein kleines Beispiel
Und ist es richtig, wenn ich die transformierte Matrix auf die Dreiecksform bringe.
Da könntest du ja mal sagen. Jo das stimmt oder nein völlig falscher Weg.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

So vllt. hab ich es ja jetzt raus.
Das Bild der Matrix sind die Spaltenvektoren und nun muss ich für die Basis des Bildes schauen, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Und da ich nun als Lösung
-1 -2 0
0 -5 -1
0 0 1
raushabe.
Entsteht keine Nullzeile und d.h. die 3 Spaltenvektoren sind auch meine Basis

Ist das richtig??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Das Problem ist nun.
Ich möchte doch nur ein kleines Beispiel
Und ist es richtig, wenn ich die transformierte Matrix auf die Dreiecksform bringe.
Da könntest du ja mal sagen. Jo das stimmt oder nein völlig falscher Weg.


Das habe ich zwar schon (ganz zu Anfang), aber nochmal für dich: Ja!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Das Bild der Matrix sind die Spaltenvektoren


Wie oft soll ich es denn noch schreiben. Das stimmt nicht!!! Wozu schreibe ich denn den ganzen Mist, wenn du eh nicht drauf achtest?! Nochmal zum Mitschreiben: Das Bild der Matrix ist die lineare Hülle der Spaltenvektoren. Das ist ein großer Unterschied. Wenn du das nicht raffst, wirst du es sehr schwer haben mit der linearen Algebra.


Zitat:
Original von bibber
und nun muss ich für die Basis des Bildes schauen, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.


Das stimmt so nicht ganz. gut, wenn sie's sind, dann bilden sie eine Basis des Bildes. Aber wenn nicht... Gauß mit der Transponierten ist auf jeden Fall ein richtiger Ansatz.


Zitat:
Original von bibber
Und da ich nun als Lösung
-1 -2 0
0 -5 -1
0 0 1
raushabe.


Komisch. Vorhin hattest du noch am Ende eine Nullzeile...


Zitat:
Original von bibber
Entsteht keine Nullzeile und d.h. die 3 Spaltenvektoren sind auch meine Basis

Ist das richtig??


Wenn deine Rechnung stimmt und da am Ende in der letzten Zeile wirklich 0 0 1 steht statt 0 0 0, dann ist das so richtig.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

So hab nun raus span=(-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1)-
Hab die lineare Hülle berechnet
Und danach hab ich Gauss angewendet um zu schauen ob es die Basis ist und ja es ist die Basis
Ist das nun richtig??
Groove Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
OK, wenigstens was... In Mengenschreibweise gilt für eine nxm-Matrix:



Wenn die Matrix nicht die Nullmatrix ist, besteht diese Menge aus unendlich vielen Vektoren.

Man kann nun leicht zeigen, dass das Bild von A gerade die lineare Hülle (der Span) der Spalten von A (bzw. der Zeilen von ) ist. Die ändert sich beim Gaußschen Eliminationsverfahren nicht.


Hiho, ich habe da noch eine Frage dazu:

Wir haben gelernt, dass eine m x n Matrix eine lineare Abbildung



ist.

Da der rang einer Matrix als dimension des Bildes definiert ist und nach meinem Wissen ist daher das Bild ein Untervektorraum des Zeilenraumes. Also müsste ich doch hier die linear unabhängigen Zeilen als Basis für das Bild nehmen, oder nicht?

Gruß
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Bild ist ein UVR des Spaltenraums. Allerdings, nochmal zum Mitschreiben: eine lineare Abbildung hat ein Bild, eine Matrix ist erst einmal nur eine Tabelle aus Zahlen. Erst durch Basiswahl kann man einer linearen Abbildung eindeutig eine Matrixdarstellung zuordnen. Also langer Rede kurzer Sinn: man sollte sich den Zusammenhang (und den Unterschied) zwischen einer linearen Abbildung und einer Matrix deutlich klarmachen.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So hab nun raus span=(-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1)- Hab die lineare Hülle berechnet Und danach hab ich Gauss angewendet um zu schauen ob es die Basis ist und ja es ist die Basis Ist das nun richtig??


So also Endergebnis

Bild(f) = span<(-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1)>
Basis des Bildes = <(-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1)>
Ist das richtig(webfritzi)?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
So hab nun raus span=(-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1)-


Du meinst



Das ist richtig, denn das sind gerade die Spaltenvektoren von A.


Zitat:
Original von bibber
Hab die lineare Hülle berechnet


Wie meinst du das? Der span ist doch schon die lineare Hülle.


Zitat:
Original von bibber
Und danach hab ich Gauss angewendet um zu schauen ob es die Basis ist


Es gibt nicht die Basis eines Vektorraums. Es gibt unendlich viele Basen. Man wendet Gauß (auf die Transponierte) an, um eine Basis zu finden. Am Ende von Gauß bilden die Nicht-Nullzeilen eine Basis des Bildes. Ich würde diese Basis dann auch wählen, denn da sind viele Nullen drin. Und je mehr Nullen desto besser.

Das ist immer so, hörst du? Wenn dir ein paar Vektoren gegeben werden und du eine Basis der linearen Hülle finden sollst, dann packst du die Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix und wendest Gauß an. Am Ende hast du dann eine Basis.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Denn dann hätte ich noch eine Frage.
Nachdem ich den Gauss anwende habe ich ja
-1 -2 0
0 -5 -1
0 0 1
rausbekommen

Ist (-1,2,0),(0,-5,-1),(0,0,1) dann auch eine Basis des Bildes???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt keine Lust mehr, mich zu wiederholen. Die Antwort auf diese Frage habe ich dir schon geliefert. Und zwar in meinem letzten Beitrag. unglücklich
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Aber sollte ich nicht mit den drei Basis Vektoren (-1,2,0),(0,-5,-1),(0,0,1).
diese Bildvektoren (-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1) bilden können???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Also um das Bild zu Bestimmen.
Hab ich hier im Forum gefunden,das ich

Und dann hatte ich die Idee das GaußEliminationsverfahren anzuwenden.
Keine Ahnung ob es richtig ist.


Ich weiß nicht, wo du geschaut hast. Wenn es hier war - [Artikel] Basis, Bild und Kern - dann steht da auch, dass man mit Gauss eine Basis des Bildes bestimmt und nicht das Bild. Wer dann aber mal einen Blick in Definitionen wirft weiß, dass man nur 1 Wort(span) und 2 Klammern ({}) vom Bild (Im) entfernt ist. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
Aber sollte ich nicht mit den drei Basis Vektoren (-1,2,0),(0,-5,-1),(0,0,1).
diese Bildvektoren (-1,-2,0),(1,-3,-1),(1,6,1) bilden können???


Wenigstens mal gut geschlussfolgert. smile Ja. Und das kannst du auch.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Okay den Vektor
(-1,2,0) krieg ich hin

(1,-3,-1) krieg ich nicht ganz hin nur mit (-1,2,0) + (0,-5,-1) = (-1,-3,-1) und das ist ungleich (1,-3,-1)

(1,6,1) krieg ich auch nicht hin
Näherung
-2* (0,-5,-1) + -2* (-1,2,0) - (0,0,1) = 2,6,-1
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

hat sich erledigt vielen dank für alles Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bibber
hat sich erledigt


Das ist nicht so fein. Erklär wenigstens, inwiefern es sich erledigt hat, damit andere später evtl. auch was davon haben.
bibber Auf diesen Beitrag antworten »

Das Lambda also der Vorfaktor ist ja aus dem bereich der reellen Zahlen und nicht der natürlichen Zahlen Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich. Du meinst übrigens nicht "das Lambda", sondern die Koeffizienten der Linearkombination.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

ist echt amüsant sich solche beiträge durchzulesen. vor allem, wenn man genauso gequält wurde wie der arme bibber... ^^
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