Grenzwerte berechnen Brüche

21.02.2010, 13:38	Adi1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte berechnen Brüche Hallo bräuchte mal paar Tips zur Grenzwertbestimmung folgender Ausdrücke: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x^{m}-1 }{x-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1 }{x} \end{eqnarray}$ komme darauf irgenwie nicht klar... Vielen Dank im voraus schonmal
21.02.2010, 13:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten Grenzwert solltest du die geometrische Reihe nicht unbeachtet lassen. Beim 2ten Grenzwert hilft die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion. Oder kennst du schon die Ableitung selbiger?
21.02.2010, 13:59	Adi1000	Auf diesen Beitrag antworten »
zum 1. dieses beispiel kam vor der geoemtrischen reihe im skript und zum 2. ableitung kenne ich zwar aus der schule, aber hatten wir in der vorlesung auch noch nicht... das 2. beispiel steht bei grenzwerte von brüchen aus polynomen, wobei man die nullstelle rauskürzt, aber ich seh hier im zähler das polynom nicht -.-
21.02.2010, 14:42	Adi1000	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte man bei zweiterem sandwich anwenden? : $\begin{eqnarray} 1\leftarrow \frac{\frac{x}{1-x}}{x} < \frac{e^{x}-1}{x} < \frac{e^{x}-1}{e^{x}-1}\rightarrow 1 \end{eqnarray}$ für x->0 geht das so ? Demnach konvergiert auch das in der Mitte gegen 1 für x->0
21.02.2010, 17:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verwende beim ersten Grenzwert halt Polynomdivision. Zur Not kannst du dein Resultat induktiv beweisen. Deine Abschätzung für das Sandwich ist falsch. Wie habt ihr $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ denn definiert?
21.02.2010, 18:49	Adi1000	Auf diesen Beitrag antworten »
also e^x haben wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} e^{x} = \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n} \end{eqnarray}$
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21.02.2010, 19:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann benutze dies: $\begin{eqnarray} e^x-1 = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n - 1 = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k} - 1 \end{eqnarray}$ -1 können wir in den Grenzwert reinziehen und erhalten: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^k} = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \sum_{k=2}^n \binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^k} \right) = 1 + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n \binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^k} \end{eqnarray}$ Den letzten Term kann man geeignet abschätzen um auf den richtigen Grenzwert zu kommen.
21.02.2010, 19:57	Adi1000	Auf diesen Beitrag antworten »
aber das beispiel stand bei definition von grenzwerten für funktionen sollte das nicht irgendwie einfacher gehen ? das stand irgendwas von wegen Zähler-Nullstelle und Nenner-Nullstelle und Polynomen ?! nur bei dem e^x raff ich das mit den polynom nicht...
21.02.2010, 21:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du schon $\begin{eqnarray} e^x \leq \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ für x < 1 kennst, kannst du dies verwenden, um den Grenzwert nachzuweisen. Ich wollte dir halt einen Vorschlag machen, der auf jeden Fall nur das benutzt, was du schon kennst.
22.02.2010, 13:46	ai0501	Auf diesen Beitrag antworten »
erledigt

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