L'Hospital

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Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital
Hallo,
ich soll folgenden Grenzwert mit L'Hospital berechnen: ich ahbe Zähler und Nenner schon 3x abgeleitet. Aber ich bekomme das tan x nicht weg und so immer 0/0.
Gibt es noch einen besseren Ansatz?
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch so ein Beispiel:



So angesetzt:



und abgeleitet:


jetzt landet man quasi in einer Endlosschleife. Besteht noch eine Chance das ganze richtig zu biegen?

Anders herum klappt es aber:







Oder geht es andern noch einfacher?
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also noch mal zusammengefasst:



Aber ich bekomme das 0/0 nicht weg. Auch wenn ich Den Tangens umschreibe.


Dann mein 2. Problem:






Wie amcht man jetzt weiter. Durch die Produktregel fliegt das ln nicht raus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor123
Aber ich bekomme das 0/0 nicht weg. Auch wenn ich Den Tangens umschreibe.

Schreibe den Tangens um und dann nochmal l'Hospital.

Zitat:
Original von Theodor123


Wie amcht man jetzt weiter. Durch die Produktregel fliegt das ln nicht raus.

Du brauchst dich nur um den Zähler zu kümmern. Also .

Und dann wieder l'Hospital.

Ist das Schulmathe? verwirrt
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen dank für die Antwort. Das erste habe ich jetzt so gelöst, dass ich gleich in der Ausgangsformel den tan umgeschrieben und zurückgeführt habe auf sin x/x.
Aber ich werde auch deine Methode nochmal testen. Meinst du nur umschreiben, oder auch auf sin x/x zurückführen?

Und wieso reicht es beim 2. aus nur den Zähler zu betrachten?

PS. Das ist kein Schulmathe ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor. Aber mir war so, als hätten wir L'Hospital schon in der Oberstufe gehabt. Deswegen habe ich es hier geschrieben.


Und noch was allgemeines. Gibt es gerade bei Winkelfunktionen etwas wie ein Rezept?

Also sollte man z.B. bei Grenzwerten x->0 Gleich am Anfang sin x durch x zu ersetzen und auch aus dem Tangens das sin x eliminieren? Oder lieber erst mal den L'Hospital anwenden?
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit nur ersetzen durch sin x / cos x kommt raus:

. Also wieder 0/0.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte: jetzt wieder l'Hospital.

Zitat:
Original von Theodor123
Und wieso reicht es beim 2. aus nur den Zähler zu betrachten?

Weil der Nenner gegen 1 konvergiert. Augenzwinkern
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Mit dem zurückführen auf sin x/x war nur einmal L'Hospital notwendig. Da wende ich ihn noch mal an. hast du noch Tipps dazu:

Zitat:
Und noch was allgemeines. Gibt es gerade bei Winkelfunktionen etwas wie ein Rezept? Also sollte man z.B. bei Grenzwerten x->0 Gleich am Anfang sin x durch x zu ersetzen und auch aus dem Tangens das sin x eliminieren? Oder lieber erst mal den L'Hospital anwenden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein gültige Regeln gibt es da nicht. Dahilft nur ein gutes Auge. smile Und wie willst du sin(x) durch x ersetzen?
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte doch stimmen, oder?

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber nur gültig, weil ist. Deswegen darf man aber nicht einfach sin(x) durch x ersetzen.
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist mir schon klar. Aber letztendlich läuft es ja darauf heraus, dass nur x da stehen bleibt, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, bei Grenzwerten wie wäre ich aber sehr vorsichtig. Einfach sin(x) durch x ersetzen führt zum Grenzwert Null, was aber falsch ist.
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist natürlich blöd, da hast Du recht. Aber wann darf ich denn nun den Sin x / x durch 1 ersetzten. Man macht ja auch gerne Umformungen wie



Woher weiß man denn, ob die Umformung erlaubt ist. Kann man sagen, wenn das Sinus alleine steht geht es und bei Differenzen etc. geh es nicht. Wie sieht es bei Multiplikationen aus. Da müsste es ja auch funktionieren, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor123
Aber wann darf ich denn nun den Sin x / x durch 1 ersetzten.

Genau dann, wenn dieser Ausdruck als Faktor in einem Term auftaucht, von dem der Grenzwetr für x gegen Null genommen wird.

Für formt man erstmal um:



Jetzt kann man in dem ersten Faktor 7x durch y ersetzen und nutzen.
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also darf man die Vorgehensweise nicht verwenden, wenn noch Summen und Differenzen auftreten, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, warum du darauf so rumpochst. Man darf alles, solange die mathematischen Regeln eingehalten werden. Formuliere eine exakte mathematische Behauptung und dann wird man sehen, ob diese sich beweisen läßt.
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Was gib es da für Reglen.

Ich wollte nur wissen, ob man generell sagen kann dieses Rückführen klappt nicht, wenn Summen bzw. Differenzen auftreten, wie hier:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor123
Was gib es da für Reglen.

Die Grenzwertregeln und die Regel von l'Hospital. Mehr kann man generell nicht sagen, sonst hätten die Mathematiker es getan.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor123
Was gib es da für Reglen.

Ich wollte nur wissen, ob man generell sagen kann dieses Rückführen klappt nicht, wenn Summen bzw. Differenzen auftreten, wie hier:


In diesem Fall würde man vermutlich mit L'Hospital operieren oder mittels elementarer Abschätzungen für den Sinus ein Sandwich konstruieren.

Generell kann man höchstens sagen, dass dieses "Rückführen" (was ja nichts anderes als eine Anwendung der Grenzwertsätze ist) genau dann klappt, wenn die Voraussetzungen für die Anwendung der Grenzwertsätze erfüllt sind.


OT: <Immer wieder diese Gier nach allgemeingültigen Kochrezepten oder einer Hand voll Regeln, mit denen man dann alles erschlagen kann. In der Schule mag das funktionieren - wenn man sich über das einfache Rechnen hinaus tatsächlich mit Mathematik beschäftigt, dann tut es das nicht. Da hilft dann tatsächlich nur Übung!>
Theodor123 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Grenzwert Regel sagt den aus, ob ich das ersetzen darf oder nicht?

Hier noch ein Beispiel, wo das Rückführen klappt, trotz Differenz:


Ich möchte ja kein Rezept, sondern nur wissen, wann ich das Rückführen darf, und wann ich die Regeln verletze, und wenn ja welche.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei dieser Aufgabe ist, daß der Grenzwert des Nenners für x gegen 0 gleich Null ist. Eine Umformung behebt dieses Manko:



Jetzt können wir ausnutzen, daß ist. Insgesamt ergibt sich also unter Ausnutzung der Grenzwertregeln, daß der Nenner gegen 1 konvergiert.
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