linearer Abbildung "f" eine Matrix zuordnen

21.02.2010, 20:37

bachi.55

linearer Abbildung "f" eine Matrix zuordnen

meine Problemstellung

Guten Abend

Vorangestellt habe ich einen Link zu einer Aufgabenstellung mit der ich nicht klar komme. Ich bin gerade bei der Vorbereitung auf meine Prüfung und habe folgendes Problem:

Mir fehlt bei dieser Aufgabe total die Idee. Habe schon 2 andere Aufgaben gerechnet, aber bei denen war etwas anderes gegeben.

Klar ist, dass C_M_B = C_T_B * B_M_C * C_T_B, aber wie ich auf C komme, wenn ich C_M_B gegeben habe.

Könnt ihr mir helfen ?

mfg Bachi.55

21.02.2010, 20:50

tigerbine

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RE: linearer Abbildung "f" eine Matrix zuordnen
Wie lautet die Matrix von f bzgl. der Standardbasen?

Wie lautet das Diagramm für Basiswechsel bei Lin. Abb.?

Was ist dann gesucht?

[Artikel] Basiswechsel

04.03.2010, 16:33

bachi.55

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Hallo Leute! Ich muss mich entschuldigen, dass ich auf den letzten Beitrag nicht weiter eingegangen bin, aber ich habe das Thema einfach nicht verstanden um da wirklich durch zu blicken.

Jetzt nach langem Rechnen (oder mehr Überlegen) habe ich hoffentlich den richtigen Ansatz gefunden. Ich werde den hier mal offen legen und hoffentlich ist das richtig.

Wir haben die Lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=(z-3y,x+y+z,2y-x) \end{eqnarray*}$ und wir haben Basen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} b_1=(2,1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2=(3,1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_3=(1,0,1) \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist Abbildungsmatrix (?) gegeben durch $\begin{eqnarray*} M_b^c=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist eine Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Angefangen habe ich jetzt damit die Basen $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ in die Abbildung ein zu setzen. Daraus erhielt ist folgende Vektoren:

$\begin{eqnarray*} f(2,1,1)=(-2,4,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(3,1,1)=(-2,5,-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1,0,1)=(1,2,-1) \end{eqnarray*}$

Also habe ja $\begin{eqnarray*} f(b_j) \end{eqnarray*}$ errechnet und die Formel in meinem Skript besagt:

$\begin{eqnarray*} f(b_j)=\sum_{i=1}^m A_{ij}c_i \end{eqnarray*}$

... wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Zeilen von $\begin{eqnarray*} M_b^c \end{eqnarray*}$ sind.

Also muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in abhägikeit von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ darstellen. Da ich aber $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht gegeben habe, kann ich nur die Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} M_b^c \end{eqnarray*}$ verwenden. Dazu lese die Matrix Spaltenweise aus und die Koeffizienten vor meine $\begin{eqnarray*} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray*}$ . Heraus kommt das:

I $\begin{eqnarray*} (-2,4,0)=2c_3 \to c_3=(-1,2,0) \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} (1,2,-1)=c_2 \to c_2=(1,2,-1) \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} (-2,5,-1)=c_1+c_2 \to \end{eqnarray*}$ (wegen III) $\begin{eqnarray*} c_1=(-3,3-2) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich meine 3 Basen von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gefunden. Ich hoffe, dass mein Weg richtig war? Wirklich vorstellen kann ich mir das ganze nicht. Falls jemand was zu meckern hat, ich verbessere mich gerne Augenzwinkern

!

lg Bachi.55

04.03.2010, 23:22

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} M_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1=(2,1,1)^T \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2=(3,1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_3=(1,0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0)^T, e_2=(0,1,0)^T, e_3=(0,0,1)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 1&1&0 \\ 1 &1& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie lautet die Matrix von f bzgl. der Standardbasen?

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=(z-3y,x+y+z,2y-x) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} M_1=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie lautet das Diagramm für Basiswechsel bei Lin. Abb.?

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Zitat:

Was ist dann gesucht?

T

Wie berechnet man T nun? Dazu dient das Schema.

$\begin{eqnarray*} T=M_1SM_2^{-1} \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	T=M1SM2I T = -3 1 -1 3 2 2 0 -1 0

In den Spalten von T stehen die Basisvektoren von C.

04.03.2010, 23:41

bachi.55

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[EDIT zum 3. Post]

$\begin{eqnarray*} c_1=(-3,3,0) \end{eqnarray*}$

Da hatte ich mich verrechnet.

Danke für deine Erklärung. Habe sie jetzt nur überflogen und werde sie mir morgen nochmal ansehen und dann versuchen sie auch zu verstehen. Schonmal nicht schlecht, dass mein Ergebnis richtig war. Augenzwinkern

lg Bachi.55

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