Grenzwer 3x L'Hospital?

21.02.2010, 23:58

Jan G.

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Grenzwer 3x L'Hospital?

Hallo,
ich habe gerade den Grenzwert berechnet: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1+ \frac 1 {e^x})^{\cot \frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Das habe ich umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}e^{ \ln((1+ \frac 1 {e^x}))\cdot{\cot \frac 1 x}} \end{eqnarray*}$

Ab jetzt betrachte ich nur den Exponenten.

1. Mal L'Hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\cos^2(\frac 1 x) \cdot x^2}{e^x+1} \end{eqnarray*}$

2. Mal:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2 \cos (\frac 1 x) \sin (\frac 1 x) +2x \cos^2 (\frac 1 x)}{e^x} \end{eqnarray*}$

3. Mal:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2(\sin^2(\frac 1 x) \frac 1 {x^2}-\cos^2(\frac 1 x) \frac 1{x^2})+2\cos^2 (\frac 1 x) + \frac 4 x \cos (\frac 1 x) \sin (\frac 1 x))}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

Daraus Folgt, das der Grenzwert der Ausgangsfunktion.

Jetzt meine Frage. Geht das auch einfacher? Weil 3x Ableiten erscheint mir schon sehr aufwendig. Kann man nicht nach dem ersten mal schon sagen, dass der Exponent gegen 0 geht?

Kann man das damit begründen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{b^x}=0, a{,}b>0 \end{eqnarray*}$ Wenn ja gibt es noch mehr solche nützlichen Sachen zur Grenzwert berechnung?

Viele Grüße

22.02.2010, 00:05

tmo

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Natürlich geht das einfacher:

Es ist $\begin{eqnarray*} \ln(1+e^{-x}) \cdot \cot \frac{1}{x} = \ln(1+e^{-x}) \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{sin \frac{1}{x}} \cdot x \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x}=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{sin \frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$ bekannt.

Übrig bleibt also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \ln(1+e^{-x}) =\lim_{x \to \infty} \ln \left( \left( 1+e^{-x} \right)^x \right) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left( 1+e^{-x} \right)^x = 1 \end{eqnarray*}$ ist nicht schwer einzusehen.

22.02.2010, 00:13

Jan G.

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Danke. Könntest du mir bitte noch mal die letzten beiden Zeilen erklären. Das kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Und kannst du das e^ bitte mit hinschreiben, ich denke da sieht man das besser.

22.02.2010, 15:03

Kühlkiste

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RE: Grenzwer 3x L'Hospital?

Zitat:

Original von Jan G.
Hallo,
ich habe gerade den Grenzwert berechnet: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1+ \frac 1 {e^x})^{\cot \frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Übrigens lassen sich bei Ausdrücken dieser Art, die Grenzwerte nach einem bestimmten Verfahren bestimmen.

Sind $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ zwei Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \lim f=1 \ \mbox{und} \ \lim g=\infty \end{eqnarray*}$ ,dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim f^g=e^{\lim (f-1)g}. \end{eqnarray*}$

Im gegebenen Fall folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{\cot \frac 1x}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

dann, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1+ \frac 1 {e^x})^{\cot \frac 1 x}=e^0=1. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 15:10

Jan G.

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Kann mir jemand eine Formelsammlung empfehlen, wo viele Grundgrenzwerte enthalten sind.

Z.b.: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{sin \frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$
Steht bei mir im Merziger nicht.

Und auch Tipps wie den von Kühlkiste kann ich nicht finden.

22.02.2010, 22:16

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Jan G.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{sin \frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$
Steht bei mir im Merziger nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~\frac{\frac 1 x}{\sin \frac 1 x } = \lim_{z \to 0}~\frac{z}{\sin z} = \lim_{z \to 0}~\frac{1}{\frac{\sin z}{z}} = \frac 1 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass es Formelsammlungen gibt, die solche Grenzwerte enthalten, denn wie man sieht, kann man das auf einen bekannten Grenzwert zurückführen, der sicherlich in jeder Formelsammlung zu finden ist.

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23.02.2010, 03:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
Übrig bleibt also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \ln(1+e^{-x}) =\lim_{x \to \infty} \ln \left( \left( 1+e^{-x} \right)^x \right) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left( 1+e^{-x} \right)^x = 1 \end{eqnarray*}$ ist nicht schwer einzusehen.

Ich würd's so machen:

$\begin{eqnarray*} x\ln(1+e^{-x}) = \frac x {e^x}\cdot\frac{\ln(1 + e^{-x}) - \ln(1)}{e^{-x}}\;\longrightarrow\;0\cdot \ln'(1) = 0\cdot 1 = 0. \end{eqnarray*}$

23.02.2010, 09:51

Jan G.

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Könnt ihr bitte auch dazu schreiben, auf welchen Gesetzen eure Umformungen beruhen.

23.02.2010, 13:30

WebFritzi

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Nun, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\,x^ne^{-x} = 0, \end{eqnarray*}$

sollte man wissen.

23.02.2010, 14:00

Jan G.

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Das ist bekannt. Ich wollte nur wissen, was du Umgeformt hast. hast du mit e^x erweitert?

23.02.2010, 14:03

WebFritzi

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Rechnen solltest du als Hochschüler schon können. Das ist so trivial, dass sich in mir alles dagegen wehrt, dir meine Umformung zu erklären. Im Schulforum vielleicht, aber nicht hier.

23.02.2010, 15:09

Jan G.

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Wenn du es nicht verraten willst. Nehmen wir mal an, du hasst mit e^x erweitert, Da erschießt sich it z.B. trotzdem nicht, wo au einmal das -ln(1) herkommt.
$\begin{eqnarray*} \frac x {e^x} \frac{\ln(1+\frac 1 {e^x})}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$ Wo ist jetzt das -ln(1). Aber jetzt habe ich doch trotzdem noch 0*unendlich.

23.02.2010, 15:16

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \ln(1) = 0, \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} e^0 = 1. \end{eqnarray*}$

23.02.2010, 15:46

kiste

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Zitat:

Original von Jan G.
Wenn du es nicht verraten willst. Nehmen wir mal an, du hasst mit e^x erweitert, Da erschießt sich it z.B. trotzdem nicht, wo au einmal das -ln(1) herkommt.

Ich bin ja normalerweise einer der letzten der fehlerhaftes Deutsch ankreidet, aber das ist unter aller Sau.

23.02.2010, 16:11

Jan G.

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$\begin{eqnarray*} \frac x {e^x} \frac{\ln(1+\frac 1 {e^x})}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe leider immer noch nicht, wie du jetzt auf den Grenzwert kommst. Der Linke Term geht gegen 0. Der Zähler des 2. Geht auch gegen Null. Der Nenner jedoch auch. Also ist das Ganze doch wieder undefiniert, oder täusche ich mich da?

23.02.2010, 16:30

Kühlkiste

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Siehst Du denn ein, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}h=\ln'(1)=1~? \end{eqnarray*}$

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