Grenzwert Probleme

22.02.2010, 11:24

Tom S.

Grenzwert Probleme

Hey,
Ich versuche gerade diese 2 Grenzwerte zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} (\cot x)^{\sin x}=\lim_{x \to +0}(\frac {\cos x}{x})^{x}=\lim_{x \to +0}e^{\ln(\frac {\cos x}{x})\cdot x}=\lim_{x \to +0}e^{\frac{x^2\cdot \sin x + x \cdot \cos x}{\cos x}}=1 \end{eqnarray*}$

Dam würde mich nur interessieren, ob alles richtig ist und ob man das ggf eleganter lösen kann.

Dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} \frac{1+\cos x}{x^5 \cdot \sin x}-\frac{1}{2x^4}=\lim_{x \to +0} \frac{2+2\cos x -x^2}{2x^6}=\lim_{x \to +0} \frac{-2\sin x -2x}{12x^5}=\lim_{x \to +0} \frac {-2\cos x -2}{75x^4} \end{eqnarray*}$

Da würde ich ja aber auf - Unendlich kommen. Raus kommen soll aber plus. Was habe ich da falsch gemacht?

Viele Grüße

22.02.2010, 11:34

Cel

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Beim zweiten Grenzwert darfst du kein de l'Hospital anwenden, denn im Grenzwert steht da nicht $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{4}{0} \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ führt.

22.02.2010, 12:01

Tom S.

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Ah das habe ich übersehen. Wie sieht es mit dem ersten aus?

Dann habe ich hier noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} (b \tan(3x)+\cos x)^{\frac 1 x}) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht so ganz. Unter der Wurzel kommt doch einfach 1 raus, und die n-te Wurzel aus 1 ist 1. In der Lösung steht aber etwas anderes.

22.02.2010, 13:50

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Tom S.
Ah das habe ich übersehen. Wie sieht es mit dem ersten aus?

Dann habe ich hier noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} (b \tan(3x)+\cos x)^{\frac 1 x}) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht so ganz. Unter der Wurzel kommt doch einfach 1 raus, und die n-te Wurzel aus 1 ist 1. In der Lösung steht aber etwas anderes.

Tja, und bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$

sieht das ganz ähnlich aus und auch dort kommt nicht 1 raus.

Mit einer, auf dieser Erkenntnis beruhenden Überlegung, kann man übrigens schnell sehen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} (b \tan(3x)+\cos x)^{\frac 1 x})=e^{3b} \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 16:46

Tom S.

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Also ich verstehe nicht richtig, was du meinst. Woher weiß ich denn, dass ich in dem Fall den Grenzwert nicht einfach ablesen kann? Und wie kann man das einfach ablesen?

22.02.2010, 17:28

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Tom S.
Also ich verstehe nicht richtig, was du meinst. Woher weiß ich denn, dass ich in dem Fall den Grenzwert nicht einfach ablesen kann? Und wie kann man das einfach ablesen?

Ich verstehe ebenfalls nicht richtig, was Du meinst.

22.02.2010, 18:05

Tom S.

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Woher weiß ich, dass der Grenzwert so nicht definiert ist, als 1^Unendlich=1. Sondern, dass dies ein Sonderfall ist. Und dann würde ich gern wissen, wie du den Grenzwert da abgelesen hast.

22.02.2010, 18:18

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Tom S.
Woher weiß ich, dass der Grenzwert so nicht definiert ist, als 1^Unendlich=1. Sondern, dass dies ein Sonderfall ist.

Das liegt ganz einfach daran, dass die Basis nicht 1 sonder eine gegen 1 konvergente Folge ist.
Guck Dir noch mal die Grenzwertsätze an um einzusehen, dass diese Deine Folgerung hier nicht legitimieren.

Zitat:

Original von Tom S.
Und dann würde ich gern wissen, wie du den Grenzwert da abgelesen hast.

Dem liegt die in diesem Thread dargelegte Überlegung zugrunde:

matheboard.de/thread.php?threadid=412123

22.02.2010, 20:01

Tom S.

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Und wie funktioniert das dann hier im Beispiel:

e^ $\begin{eqnarray*} {\lim_{x \to 0} (b \tan(3x)+\cos x-1) \cdot \frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Und wie nennt sich das ganze, was man da macht?

22.02.2010, 20:32

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Tom S.
Und wie funktioniert das dann hier im Beispiel:

e^ $\begin{eqnarray*} {\lim_{x \to 0} (b \tan(3x)+\cos x-1) \cdot \frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Und wie nennt sich das ganze, was man da macht?

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x-0}=-\sin(0)=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{b\tan(3x)}x=\underbrace{\frac{3b}{\cos(3x)}}_{\longrightarrow 3b}\underbrace{\frac{\sin(3x)}{3x}}_{\longrightarrow 1}. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 21:35

Tom S.

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Gut. Bis auf das (x-0) ist es einleuchtend. Wieso die -0? Und Was hat das Verfahren nun für einen Namen?

22.02.2010, 21:40

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Tom S.
Wieso die -0?

Die Null ist natürlich obsolet und dient schlicht zur Verdeutlichung. Der Term sollte unmißverständlich als Differenzenquotient geoutet werden.

Zitat:

Original von Tom S.
Und Was hat das Verfahren nun für einen Namen?

Selber Überlegen!

23.02.2010, 13:47

Tom S.

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Bei dem Cos könnte man aber auch L'Hospital anwenden, oder? Und was meinst du mit selber überlegen? Meinst du damit, dass es keinen Namen hat?

23.02.2010, 14:20

WebFritzi

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RE: Grenzwert Probleme

Zitat:

Original von Tom S.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} (\cot x)^{\sin x}=\lim_{x \to +0}(\frac {\cos x}{x})^{x} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar im Endeffekt richtig, aber ohne Begründung darfst du das nicht machen.

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