Verwirrung bzgl. Maßeigenschaften

22.02.2010, 12:49

Sly

Verwirrung bzgl. Maßeigenschaften

Hallo Leute!

Mich bedrückt ein kleines Verständnisproblem, das ich seit Tagen nicht aus meinem Kopf kriege. Wahrscheinlich hakt es nur bei mir und das Thema hat sich nach den ersten paar Posts schon erledigt. Das Problem ist folgendes:

Es ging in einer Vorlesung um Haarmaße. (Eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes)

Nun wurde da als eine Eigenschaft aufgeführt:

$\begin{eqnarray*} E\quad\text{Borelmenge}\quad\Rightarrow\quad \mu(E) = \inf \{\mu(B) | E\subset B, B\;\text{offen}\} \end{eqnarray*}$

Wenn diese Eigenschaft nun für Haarmaße gilt, muss es ja insbesondere für das gewöhnliche Lebesgue-Maß gelten, zB. auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die rationalen Zahlen bilden als abzählbare Menge eine Borelmenge. Gilt aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset B \end{eqnarray*}$ für ein offenes B, so muss doch schon $\begin{eqnarray*} B=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelten, da Q dicht liegt und B zu jedem Punkt in Q eine Umgebung enthalten muss.

Für meine Begriffe müsste daraus nach obiger Formel $\begin{eqnarray*} \mu(\mathbb{Q})=\infty \end{eqnarray*}$ folgen, was bekanntlich falsch ist, da es 0 sein müsste.

Ein Fehler des scripts ist es definitiv nicht, da ich es hier ebenfalls wiedergefunden habe.

Deckt vielleicht jemand meinen hartnäckigen Denkfehler auf? Wink

22.02.2010, 13:11

cocosnuss

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Hallo,
es ist $\begin{eqnarray*} \mu (\mathbb Q)=0 \end{eqnarray*}$ , da die Menge der rationalen Zahlen (und somit auch jede Teilmenge davon) in der Menge der irrationalen Zahlen eine Nullmenge ist.
Willst du z. B. das Lebesgue-Maß oder Haar'sche Maß einer Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ ermitteln, so könntest du rein theoretisch alle rationalen Zahlen den Wert $\begin{eqnarray*} \pi^{36} \end{eqnarray*}$ zuordnen und es würde sich am Maß $\begin{eqnarray*} \mu(M) \end{eqnarray*}$ der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ rein gar nichts ändern.
Ciao,
cocosnuss

22.02.2010, 13:17

Sly

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Das verstehe ich nicht. Erstens, was hat das mit meiner Frage zu tun und zweitens, warum sollte man rationalen Zahlen einen Wert zuordnen können? Wenn es eine Nullmenge ist, bleiben diese Werte bei 0, da gibt es doch nichts dran zu rütteln.

22.02.2010, 14:26

Quadratzahl-Jan

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Auch wenn ich dir noch nicht wirklich weiterhelfen kann (aus klausurlernerei folgt zeitnot^^):
Wenn du aus den reellen Zahlen die zahl Pi rausnimmst, ist diese Menge immer noch offen, und Obermenge der rationalen Zahlen.

22.02.2010, 15:23

cocosnuss

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Hallo,
Wenn ich dich (Sly) im ersten Beitrag richtig verstanden habe, willst du wissen, wieso $\begin{eqnarray*} \mu (\mathbb Q) = 0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mu (\mathbb Q) = \infty \end{eqnarray*}$ richtig ist. Nun, vergewissere dich zuerst einmal, dass das (Lebesgue)-Maß eines einzelnen Punktes einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleich null ist.
Das heisst also: Ein einzelner Punkt ist eine Nullmenge. Insbesondere ist ein einzelner Punkt eine abgeschlossene Menge. (Übrigens können offene, nichtleere Menge niemals Nullmengen sein). Und nun bedenke: Jede abzählbare Vereinigung von Nullmengen bildet wieder eine Nullmenge. Wie du selbst bereits geschrieben hast, ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar. Also folgt daraus: $\begin{eqnarray*} \mu (\mathbb Q) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Die Tatsache dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt, hat rein gar nichts mit der Tatsache zu tun, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \mu(E) = \inf \{\mu(B) | E\subset B, B\;\text{offen}\} \end{eqnarray*}$
Hier bildet man das Infimum über alle offenen Ober-Mengen der zu messenden Menge.... und dieses Infimum verschwindet, wenn man für E die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ einsetzt - ist also kein Widerspruch, wie du zuerst geschrieben hast.

22.02.2010, 15:28

pseudo-nym

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Zitat:

Original von cocosnuss
$\begin{eqnarray*} \mu(E) = \inf \{\mu(B) | E\subset B, B\;\text{offen}\} \end{eqnarray*}$
Hier bildet man das Infimum über alle offenen Ober-Mengen der zu messenden Menge.... und dieses Infimum verschwindet, wenn man für E die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ einsetzt - ist also kein Widerspruch, wie du zuerst geschrieben hast.

Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass es eine Folge von offenen Obermengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gibt deren Maß gegen Null geht, um zu belegen das dieses Infimum verschwindet, dann wäre ich, und wenn ich ihn richtig verstanden habe auch Sly, glücklich.

22.02.2010, 15:36

Sly

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Zitat:

Original von pseudo-nym

Zitat:

*unterschreib*

...wobei mir die bisherigen Kommentare schon ein wenig geholfen haben. Nur obiges kann ich mir noch nicht gut vorstellen.

22.02.2010, 16:06

Sly

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Entschuldigt den Doppelpost, aber ich glaube, mir ist da gerade ein Beispiel eingefallen. Die Abzählbarkeit von Q macht die Sache gerade doch möglich, würde ich meinen. Es sei also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}=\{q_i\}_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

Nun konstruiere folgende Sequenz offener Mengen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} U_i = B_{\epsilon 2^{-i}}(q_i) \end{eqnarray*}$

Und schließlich $\begin{eqnarray*} A^\epsilon = \bigcup_{n=0}^\infty U_n \end{eqnarray*}$

Diese Menge überdeckt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nach Definition, es ist jedoch

$\begin{eqnarray*} \mu(A^\epsilon) \leq \sum_{n=0}^\infty \mu(U_n) = \sum_{n=0}^\infty \epsilon 2^{-n} = 2\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun mache den Schritt $\begin{eqnarray*} \epsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich denke so sollte es gehen, oder? Ich danke jedenfalls für die Kommentare, die mich auf diese Idee gebracht haben.

22.02.2010, 16:12

Quadratzahl-Jan

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Sehe nicht, ob cocosnuss online ist, ich schreib einfach mal:
Sei p1,p2,p3,... eine Abzählung der rationalen Zahlen.
Für $\begin{eqnarray*} p_i\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nehmen wir ein offenes Intervall, das $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ enthält und die Länge $\begin{eqnarray*} q^{i} \end{eqnarray*}$ hat, wobei q eine Zahl kleiner 1 sei.
Dann ist die Vereinigung aller Intervalle eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Das Maß dieser Überdeckung ist dann durch eine geometrische Reihe abschätzbar.
Wenn man die Reihe skaliert, müßte man so jedes Maß c>0 "unterbieten" können.
hoffe es ist kein Gedankenbolzen drin.

Edit: für das bisschen Text hab ich ne gefühlte Ewigkeit gebraucht, habe deinen Post nicht gelesen. Aber so sollte es gehen,ja. Hätte aber anfangs keinen Euro drauf gesetzt, dass so eine Überdeckung möglich ist smile