Lösung von e(-x) = x |
| 22.02.2010, 15:07 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lösung von e(-x) = x ich muss folgendes Lösen, find aber dazu nichts im Skriptum / Mitschrift ? Kann mir vielleicht jemand helfen ? Zeigen Sie: Die Gleichung hat genau eine reelle Lösung x und berechnen sie diese Lösung auf eine Dezimalstelle genau. Ich danke jetzt schon für eure Hilfe =) |
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| 22.02.2010, 15:11 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass eine Nullstelle hat und nähere diese dann an. Edit: Ich sehe gerade, dass du die Existenz genau einer Nullstelle zeigen sollst. Dazu könntest du mal untersuchen. |
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| 22.02.2010, 15:12 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lösung von e(-x) = x du sollst die lösung nicht berechnen, sondern zeigen, dass es genau eine reelle lösung gibt... das kann man mit hilfe der ableitung machen... |
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| 22.02.2010, 15:16 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lösung von e(-x) = x
@Igrizu: Wie soll man denn nur mit Hilfe der Ableitung die Existenz einer Nullstelle zeigen? |
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| 23.02.2010, 09:01 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, gilt dies quasi als beweis: lt. Zwischenwertsatz (also eigentlich Nullstellensatz) vereinfacht gesagt: wenn f(a) < 0 und f(b) > 0 ist gibt es ein c aus (a,b) mit f(c) = 0 ... Jetzt schreib ich halt eine Tabelle auf mit ein paar werten, und wenn sich dort wo das vorzeichen ändert, hab ich schon bewiesen, dass es eine nullstelle also eine lösung geben muss. richtig ? wär das ausreichend ? oder kann man das irgendwie schöner beweisen und nicht mit einer tabelle ... ausrechnen tu ich das ganze dann mit intervallschachtelung, da ich aufgrund meiner tabelle ja schon weiß wo die nullstelle ungefähr zu finden ist ... |
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| 23.02.2010, 09:37 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, so nicht. Es genügt nicht, zu sagen was man tun könnte. Du brauchst erstmal eine stetige Funktion auf die den ZWS loslassen kannst. (es wurde Dir ja schon gesagt wie f aussehen sollte) Intervallschachtelung etc. hat hier nichts verloren. Probier doch mal die aller-einfachsten Funktionswerte, die Dir in den Sinn kommen. Wie schon mehrfach erwähnt ist der ZWS hier nur die halbe Miete, denn Du sollst ja nicht nur zeigen, dass es überhaupt eine Lösung gibt sondern, dass es genau eine gibt. |
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| 23.02.2010, 18:03 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lösung von e(-x) = x
Er wollte damit auf genau eine hinaus. |
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| 23.02.2010, 19:59 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lösung von e(-x) = x hat f n nullstellen, so hat f' n-1 nullstellen. hat f' keine nullstelle, so hat f kein extremum, ist also monoton (wachsend oder fallend). ist fernerhin der grenzwert gegen unendlich unendlich (oder minus unendlich) und gibt es x_0, x_1 mit f(x_0)<0 und f(x_1)>0 so hat f eine nullstelle. da f monoton (f' hat ja keine nullstelle) ist das auich die einzige, womit gezeigt wäre, dass f genau eine nullstelle hat. dass die NS angegeben werden soll hab ich wohl überlesen......... |
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| 24.02.2010, 10:43 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lösung von e(-x) = x also reicht das als beweis, dass ich zeige dass f'(x) keine Nullstellen hat (in unserem fall somit monoton fallend) und somit sagen kann, dass f(x) genau eine Nullstelle hat, brauch ich dazu gar nicht den Zwischenwertsatz ? Nehm ich dann irgendwelche x_1 und x_2 ? Liebe Grüße |
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| 24.02.2010, 11:54 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lösung von e(-x) = x vorsicht, wenn f' keine nullstelle hat, heisst das nicht, dass f eine hat, es heisst nur, dass f höchstens eine hat, f kann auch keine haben (zum beispiel f=e^x). wenn f allerdings zusätzlich irgendwo einen vorzeichenwechsel hat, dann hat f eine nullstelle und dafür kann man beliebige x_1, x_2 nehmen, man sollte sie allerdings so wählen, dass ein vorzeichenwechsel stattfindet. in deinem fall kannst du sagen f' hat keine nullstelle, also ist f monoton. da f monoton hat f maximal eine nullstelle. |
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| 24.02.2010, 14:13 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lösung von e(-x) = x irgendwie verzweifle ich schön langsam ... also, ich weiß jetzt wie man zeigt, dass f max. eine nullstelle hat ... das zwischen x_1, x_2 , (mind.) eine nullstelle liegt... (mit ZWS) aber wie kann ich denn jetzt endlich zeigen, dass es GENAU eine nullstelle gibt |
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| 24.02.2010, 14:46 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den Nachweis dass es genau eine Nullstelle gibt nutzt du die 1. Ableitung und zeigst, dass deine Funktion (streng) monoton ist. |
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| 24.02.2010, 16:06 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die funktion exp(x) ist auch streng monoton, die ableitung ist wieder exp(x) und hat keine nullstelle. es ist wie ich gesagt habe und wie Iorek jetzt noch einmal unterstrichen hat: ableitung bilden, hat die ableitung eine nullstelle? nein also ist die funktion monoton und hat somit maximal eine nullstelle. wenn du nun noch x_1 und x_2 finden kannst mit f(x_1)<0 und f(x_2)>0, dann hat die funktion mindestens eine nullstelle. du kanns auch schauen was f(-unendlich) und f(unendlich) ist, haben die unetrschiedliche vorzeichen? Eine funktion, die gleichzeitig mindestens eine nullstelle hat und höchstens eine, hat dann genau eine...... |
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