Kurvenintegral im Komplexen

22.02.2010, 16:26

barthcar

Kurvenintegral im Komplexen

Hi Leute,

folgende Aufgabe ist gegeben:

Berechnen Sie das komplexe Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \oint_{\partial K}\bar{z}^2 \text{d}z \end{eqnarray*}$ über dem Rand des Teils $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Kreisscheibe vom Radius 2 um den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ , der in der rechten Halbebene $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb{C}:\Re z>0\} \end{eqnarray*}$ liegt.

Zeil ist es wohl eine gute Parametrisierung zu finden und dann die Formel $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_n}f(z)\text{d}z=\int_a^b f(\gamma_n(t))\dot{\gamma}_n(t)\text{d}t \end{eqnarray*}$ anzuwenden.

Meine Frage ist jetzt, ob man diesen Halbkreis vom Radius 2 beliebig verschieben kann, ohne dabei das Ergebnis zu ändern. Zum Beispiel also den Mittelpunkt in den Ursprung legen und über $\begin{eqnarray*} \Im z>0 \end{eqnarray*}$ zu integrieren. Das würde doch die Lösung erheblich vereinfachen, oder?

Sollte das nicht gehen, würde ich gerne wissen wie man es dann macht, denn mit der üblichen Parametrisierung die mir dazu einfällt:

$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t)=t;\quad i\leq t\leq -3i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma_2(t)=2e^{it}-i;\quad -\frac{\pi}{2}\leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

klappts nicht so richtig. Sieht auch irgendwie nicht ganz sinnvoll aus... verwirrt

Vielen Dank schonmal..

Carlo

22.02.2010, 18:09

system-agent

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Für was ist $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ gut?
Deine Kurve ist fast $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ , lediglich musst du ein Vorzeichen ändern Edit: Nein, habe mich verlesen:
$\begin{eqnarray*} \gamma_2(t)=i+2e^{it} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

22.02.2010, 19:15

barthcar

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RE: Kurvenintegral im Komplexen
Hi Systemagent,

erstmal danke für deine Antwort!

Du hast recht, das i muss natürlich positiv sein.

Aber ich verstehe nicht ganz was du meinst verwirrt

Also $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ ist natürlich dafür da, damit die Kurve geschlossen ist. Andererseits würde die von mir genannte Formel ja nicht gelten. Mein Problem ist, dass ich morgen Klausur schreibe und wirklich noch einen Konkreten Tipp brauche...

Ein Rechenbeispiel dass ich habe ist folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \oint_{\partial G}(z^2+\bar{z})dz \end{eqnarray*}$ über Rand von $\begin{eqnarray*} G=\{z=x+iy\in\mathbb{C}:|z|<2,y>0\} \end{eqnarray*}$
Das Integral $\begin{eqnarray*} \oint_{\partial G}z^2dz \end{eqnarray*}$ muss wegen dem Cauchyschen Integralsatz nicht betrachtet werden, da die Funktion holomorph ist und über eine geschlossene Kurve integriert wird.

Parametrisierung:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lllr}\text{Wegstück 1: } & \gamma_1(t)=t,& \dot{\gamma}(t)=1,& -2\leq t\leq 2\\<br /> \text{Wegstück 2: }&\gamma_2(t)=2e^{it},&\dot{\gamma_2}(t)=2ie^{it}, & 0\leq t\leq \pi\end{array} \end{eqnarray*}$

Mit der bereits genannten Formel folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1}\bar{z}dz=\int_{-2}^2 t\cdot 1 dt=\frac{1}{2}t^2|_{-2}^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_2}\bar{z}dz=\int_0^{\pi}2e^{-it}\cdot 2ie^{it}dt=4\pi i \end{eqnarray*}$

Also als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}f(z)dz=4\pi i \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt nur gerne wissen, wie ich dieses einfache Schema in der oben genannten Aufgabe anwenden kann, oder ob es sogar möglich ist die Kurve so wie in dieser Aufgabe zu legen?????

Wäre wirklich sehr dankbar für eine schnelle Antwort, sonst kriege ich das heute nicht mehr in meinen Kopf....

Vielen Dank

Carlo

22.02.2010, 19:34

system-agent

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Naja, so wie du das oben geschrieben hattest klingt es, als dass lediglich über den Halbkreis integriert werden soll. In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ unnötig.

Dieses Integral kannst du mit dem genau gleichen Verfahren ausrechnen wie in deiner zweiten Aufgabe.
Wie gesagt:
Falls du nur über den Kreisbogen integrieren sollst, dann ist $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ überflüssig.
Dafür musst du, falls hier eigentlich auch
$\begin{eqnarray*} \int\limits_K(z^2+\overline{z}^2)\dd z \end{eqnarray*}$
berechnet werden soll, das Integral über $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ separat ausrechnen, da $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ alleine keine geschlossene Kurve ist.

Andernfalls ist die Parametrisierung für $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ auch falsch:
$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t)=it \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1\leq t\leq 2 \end{eqnarray*}$
Edit: Das ist nicht richtig. Weiter unten steht es richtig.

Beachte auch, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t)=t;\quad i\leq t\leq -3i \end{eqnarray*}$

Unsinn ist, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist nicht angeordnet.

Zur zweiten Aufgabe:

Zitat:

Das Integral $\begin{eqnarray*} \oint_{\partial G}z^2dz \end{eqnarray*}$ muss wegen dem Cauchyschen Integralsatz nicht betrachtet werden, da die Funktion holomorph ist und über eine geschlossene Kurve integriert wird.

Ganz genau.

22.02.2010, 20:09

barthcar

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Okay also diese Antwort war schonmal sehr hilfreich. Nur mit deinem Intervall für t bei dem geraden Wegstück komme ich nicht ganz klar. Das ist doch eine gerade von i bis -3i, oder? Muss dann nicht $\begin{eqnarray*} -3\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten?

Ich bin jetzt so vorgegangen, und bitte sag, dass es richtig ist Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t)=it \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -3\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma_2(t)=i+2e^{it} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{-3}(-it)^2\cdot i dt=-8i \end{eqnarray*}$ (Grenzen sorum wegen dem Integrationssinn)
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2e^{-it}-i)^2\cdot(2ie^{it}dt=\left[-8e^{-it}-2e^{it}+8t\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=12i+8\pi \end{eqnarray*}$

Und als Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} \oint_{\partial K}\bar{z}^2 dz=4i+8\pi \end{eqnarray*}$

Kommt das hin?

Danke dir vielmals...

Carlo

22.02.2010, 20:26

system-agent

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Ui, ich Idiot habe das Vorzeichen übersehen, es soll ja ein Kreis um $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ sein, ich las aber immer um $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

OK, in diesem Fall ist die Parametrisierung des geraden Stückes
$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t)=it \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -3\leq t\leq1 \end{eqnarray*}$ und des
Kreisbogens
$\begin{eqnarray*} \gamma_2(t)=-i+2e^{it} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ (*),
so wie du es schon hattest.

Für das erste Integral krieg ich $\begin{eqnarray*} \frac{28}{3}i \end{eqnarray*}$ und für das zweite [mit der Parametrisierung (*) gerechnet] kriege ich $\begin{eqnarray*} 12i-8\pi \end{eqnarray*}$ .

23.02.2010, 02:50

WebFritzi

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RE: Kurvenintegral im Komplexen

Zitat:

Original von barthcar
Also $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ ist natürlich dafür da, damit die Kurve geschlossen ist. Andererseits würde die von mir genannte Formel ja nicht gelten.

Doch, das würde sie. Deine Formel gilt für alle stückweise stetig differenzierbaren Wege. Ob geschlossen oder nicht.

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