Implizite Funktionen

12.06.2004, 17:22	KriD	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen Leider blicke ich bisher bei den impliziten Funktionen noch nicht wirklich durch . Ich brauche daher ein wenig hilfe bei der folgenden aufgabe, bzw. Hilfreiche und erklärende Tipps, die mich weiterbringen.... aufgabe: F: RxR -> R, mit F(x,y):=x^2+y^2-1. Prüfen Sie, ob für (0,1) bzw. (1,0) der Hauptsatz über implizite Fkt'en angewendet werden kann, und bestimmen Sie ggf. eine Auflösungsfkt. tja, wie gesagt, wäre ich für jede hilfe dankbar! cu dirk
12.06.2004, 22:19	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Satz kennst du? Dann prüfe die Voraussetzungen des Satzes Schritt für Schritt. Wenn du irgendwo nicht weiterkommst, kannst du zu diesem konkreten Punkt genauer fragen. Der Satz ist gar nicht so schlimm wie er aussieht.
13.06.2004, 17:25	KriD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Satz ist: (kurzform) U_1 Teilmenge von (tv) R^k, U_2 tv R^m, U_1xU_2 -> R^m mit (x,y) -> F(x,y). (a,b) aus U_1xU_2 mit F(a,b)=0, D_y F(a,b) invertierbare m x m Matrix, dann existiert g:V_1 -> V_2 (V_1 t U_1, V_2 tv U_2) mit f(x,g(x))=0 für alle x aus V_1. Ist (x,y) aus V_1xv_2 mit f(x,y)=0, dann gilt y=g(x). hmm??? somit ist hier erstmal m=k=1, (a,b)=(1,0) bzw (a,b)=(0,1), somit gilt F(1,0)=0=F(0,1), also ok. D_y F(x,y)=2y, also D_y F(1,0)=0 und D_y(0,1)=2, (also eine 1x1 matrix, aber invertierbar??? Ist det(D_y F(a,b))!=0 das gleiche wie D_y F(a,b) invertierbar?? Weiterhin steht oben "für lalle x aus V_1..." ?? Aber F(x,y) wird dovh genau nur dann =0 wenn (a,b)=(0,1) oder (1,0) ist. was ist dann g(x)? ich blicke nicht durch und brauche erklärende worte cu dirk
13.06.2004, 18:07	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hier kommt erstmal der Satz in Schönform, ja. Seien $\begin{align} a\in {\bb R}^k, \, b \in {\bb R}^m, \, r_1 >0, \, r_2 > 0 \end{align}$ , $\begin{align} U_1 := B_{r1}(a), \, U_2 := B_{r2}(b) \end{align}$ und $\begin{align} F: U_1 \times U_2 \to {\bb R}^m \end{align}$ eine Abbildung mit F(a,b) = 0, die im Punkt (a,b) total differenzierbar sei. Die m x m-Matrix $\begin{align} D_2(F)(a,b) \end{align}$ sei invertierbar. Weiter sei $\begin{align} g: U_1 \to {\bb R}^m \end{align}$ eine stetige Abbildung mit $\begin{align} g(a) = b, \, g(U_1) \subset U_2 \end{align}$ und F(x,g(x)) = 0 für alle x aus U_1. Dann... (Aussage des Satzes). Du hast sehr schön angefangen. Und ja, die 1x1-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Das g(x) ist genau die implizit definierte Funktion, die du nun finden musst. Um die zu finden, schreib dir hin F(x, g(x)) = x^2 + g(x)^2 - 1 = 0, denn diese Bedingung muss dein g erfüllen. Löse nach g(x) auf. Beachte dabei, dass g(a) = b sein muss! Mit diesem g, das du gefunden hast, gehst du dann weiter die Voraussetzungen des Satzes prüfen.
14.06.2004, 00:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne den Satz aber so, dass die Existenz dieser Funktion g nicht vorausgesetzt wird sondern eine Folgerung ist.
14.06.2004, 01:17	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage des Satzes, den Irrlicht aus [Forster, Analysis 2] zitiert hat, lautet: Dann ist g im Punkt a differenzierbar und für ihre Jacobi-Matrix gilt $\begin{align} D(g)(a) = -(D_2(F)(a,b))^{-1} D_1(F)(a,b) \end{align}$ . Dabei ist $\begin{align} D_2(F)=(D_yi(F_j))_{i,j} \end{align}$ die Ableitung nach den Komponenten des zweiten Arguments von F. Danach gibt es einen Satz, der die Existenz einer solchen Funktion g unter bestimmten Bedingungen sichert. Offenbar hat Irrlicht einfach den falschen Satz zitiert. (Es geht nicht um [Satz 1 in Forster, Analysis 2, Kapitel 1, §8], sondern um [Satz 2]): Seien $\begin{align} U_1\subset R^k \end{align}$ und $\begin{align} U_2\subset R^m \end{align}$ offenen Mengen und $\begin{align} F:U_1 \times U_2 \to R^m \end{align}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei $\begin{align} (a,b)\in U_1\times U_2 \end{align}$ ein Punkt, so dass $\begin{align} F(a,b)=0 \end{align}$ und die m x m-Matrix $\begin{align} D_2(F)(a,b) \end{align}$ invertierbar ist. Dann gibt es Umgebungen $\begin{align} a\in V_1\subset U_1, b\in V_2\subset U_2 \end{align}$ und eine stetige Abbildung $\begin{align} g: V_1 \to V_2 \end{align}$ mit $\begin{align} F(x,g(x))=0 \end{align}$ für alle $\begin{align} x\in V_1 \end{align}$ . Ist $\begin{align} (x,y)\in V_1\times V_2 \end{align}$ ein Punkt mit $\begin{align} F(x,y)=0 \end{align}$ , so folgt $\begin{align} y=g(x) \end{align}$ . Dieser Satz liefert uns das g, und der erste Satz liefert die stetige Differenzierbarkeit von g (an der wir vermutlich gar nicht interessiert sind). Gruss, SirJective
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