Beispiel einer gerichteten Menge die keine Teilfolgen zulässt

22.02.2010, 17:24

Felix

Beispiel einer gerichteten Menge die keine Teilfolgen zulässt

Eine gerichtete Menge $\begin{eqnarray*} (I,\leq ) \end{eqnarray*}$ lässt Teilfolgen zu, wenn es eine abzählbar unendliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \forall i \in I \exists j \in J : i \leq j \end{eqnarray*}$ gilt. ( "Größergleich" soll dabei allgemein für eine Richtung stehen)

Meine Problem: ich kann kein Beispiel für eine Menge finden, die keine Teilfolgen zulässt. Könnt ihr mir da weiter helfen ?

lg Wink

22.02.2010, 17:30

system-agent

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Muss $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ notwendig unendlich gross sein?

22.02.2010, 17:33

Felix

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Den Gedanken hatte ich sogar schon - hab mir dann aber blöderweise eingebildet die Definition besagt höchstens abzählbar Big Laugh

Danke

Edit:

Gibt es unendliche Mengen mit der Eigenschaft ???

22.02.2010, 17:46

system-agent

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Ich würde mal raten nein, denn eine unendliche Menge muss mindestens schonmal abzählbar unendlich gross sein (oder nicht?).

22.02.2010, 18:13

Felix

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Aber findet man denn zu jedem $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} j \in J \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ liegt ? Rein intuitiv würde ich natürlich ja sagen aber ist das wirklich so?

22.02.2010, 19:43

Felix

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So ich hab mir jetzt ein bisschen den Kopf zerbrochen und auch im Internet nachgesehen.
Nochmal klar formuliert worum es mir geht:

Gibt es eine unendliche gerichtete Menge $\begin{eqnarray*} (I,\leq) \end{eqnarray*}$ (die trivialerweise überabzählbar sein müsste), so dass es keine abzählbar unendliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ gibt die zu jedem $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ besitzt für welches $\begin{eqnarray*} i \leq j \end{eqnarray*}$ gilt?

In gewisser Weise wäre das also eine Verallgemeinerung eines nichtarchimedisch angeordneten Körpers ( in diesem Fall wäre die Frage ja positiv zu beantworten).

Nun lässt sich das aber nicht so leicht übertragen, da es ja neben $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ noch andere abzählbar unendliche Teilmengen gibt verwirrt

Kennt sich da jemand aus ?

lg

23.02.2010, 05:30

WebFritzi

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Hier ein Gegenbeispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} I = \{f : [0,\infty)\to [0,\infty)\} \end{eqnarray*}$ mit der Relation

$\begin{eqnarray*} f\le g\,:\Longleftrightarrow\,\forall x\in [0,\infty) : f(x)\le g(x). \end{eqnarray*}$

Dies ist eine gerichtete Menge, denn für $\begin{eqnarray*} f,g\in I \end{eqnarray*}$ ist auch die Funktion $\begin{eqnarray*} f + g\in I. \end{eqnarray*}$

Angenommen, es gäbe Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,\dots\,\in I, \end{eqnarray*}$ so dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} f\in I \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} j\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f\le f_j. \end{eqnarray*}$ Wähle eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(j) := f_j(j) + 1,\;j\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$ Es gibt nun laut Voraussetzung ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N, \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f\le f_k. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt aber

$\begin{eqnarray*} f_k(k)\ge f(k) = f_k(k) + 1 > f_k(k). \end{eqnarray*}$

Ein Widerspruch!

23.02.2010, 18:27

Felix

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Danke für dieses Beispiel WebFritzi, bin selbst einfach nicht draufgekommen.

lg

23.02.2010, 18:48

wisili

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Ich habe noch ein Verständnisproblem mit der Definition bei Wikipedia
Im Abschnitt «anschauliche Deutung» wird mit Axiom (R3) garantiert (mit x=y), dass zu jedem Element ein weiteres, dahinterliegendes z existiere. Aber z könnte ja auch x sein. (Die Folge könnte wegen Reflexivität der Relation konstant sein.) Ist da bei Wikipedia etwas falsch?

23.02.2010, 19:00

Felix

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Das ist halt ein wenig ungenau formuliert. Der "weitere Punkt" kann natürlich auch x selbst sein.

23.02.2010, 19:05

wisili

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Dann wäre der ganze Abschnitt überflüssig, und eine gerichtete Menge könnte auch endlich sein?

23.02.2010, 19:18

Felix

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Ja ein gerichtete Menge kann auch endlich sein.

23.02.2010, 19:22

system-agent

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Zitat:

Original von wisili
Dann wäre der ganze Abschnitt überflüssig, und eine gerichtete Menge könnte auch endlich sein?

Siehe dazu zum Beispiel im Wikipedia-Artikel auch das letzte Beispiel, das mit der Potenzmenge.
Um eine ziemlich kleine Menge zu kriegen, könntest du auch $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ nutzen Augenzwinkern

23.02.2010, 19:26

wisili

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Dann ist der oben angesprochene Wikipedia-Abschnitt «anschauliche Deutung» definitiv idiotisch:
Er garantiert, dass von jedem Element x0 aus eine Folge x0, x0, x0, x0, x0, ...
konstruiert werden kann.

26.02.2010, 16:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von wisili
Dann ist der oben angesprochene Wikipedia-Abschnitt «anschauliche Deutung» definitiv idiotisch:
Er garantiert, dass von jedem Element x0 aus eine Folge x0, x0, x0, x0, x0, ...
konstruiert werden kann.

Richtig. Das ist mir auch aufgefallen, als ich den Artikel las.

02.03.2010, 19:00

Felix

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Hallo

Ist zwar nun schon ein bisschen her das ich diesen Thread eröffnet habe, aber es hat sich eine neue Frage zu diesem Thema aufgetan. Meine Fragen sind damals aus dem Versuch entstanden zu beweisen, dass ein Cauchynetz in einem vollständigen metrischen Raum konvergent ist. Ich konnte diese Aussage aber, wie ich dachte, nur für Netze über gerichteten Mengen, die Teilfolgen zulassen, beweisen. Zu diesem Schluss kam ich, da ich im Beweis eine Folge $\begin{eqnarray*} i_n \end{eqnarray*}$ in der gerichteten Menge so verwendet habe, dass gilt $\begin{eqnarray*} d(x_i,x_j) < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} i_n \end{eqnarray*}$ .
Wie in diesem Thread aber schon festgestellt wurde, kann es ein $\begin{eqnarray*} j_0 \end{eqnarray*}$ aus der gerichteten Menge geben, so dass dieses vor allen $\begin{eqnarray*} i_n \end{eqnarray*}$ liegt. Weiters kann dieses $\begin{eqnarray*} j_0 \end{eqnarray*}$ ja so sein, dass erst ab diesem Element $\begin{eqnarray*} d(x_j,x_i) < \epsilon \end{eqnarray*}$ für ein bestimmtes Epsilon gilt, was der Existenz der konstruierten Folge widersprechen würde.

Naja jetzt habe ich doch glatt während dem Schreiben den Fehler meiner Argumentation entdeckt Big Laugh

Die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} j_0 \end{eqnarray*}$ , dass der Abstand zweier Glieder erst für Indizes vor $\begin{eqnarray*} j_0 \end{eqnarray*}$ kleiner einem bestimmten Epsilon ist muss nicht gelten. Da man die Folge $\begin{eqnarray*} (i_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ logisch einwandfrei konstruieren kann, ist diese Eigenschaft sogar sicher nicht gegeben. Vielmehr muss $\begin{eqnarray*} d(x_{j_0}, x_j) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} j_0 \end{eqnarray*}$ gelten.

So nachdem ich solang geschrieben habe möchte ich diesen Beitrag nun auch nicht löschen Big Laugh

Außerdem könnte es ja sein, dass mir noch ein Fehler unterlaufen ist. Sollte das der Fall sein sagt es mir bitte ...

lg

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