Integrale aus Formelsammlung gewinnen

22.02.2010, 18:46

Integrale

Integrale aus Formelsammlung gewinnen

Hallo,
in der Übung hatten wir mal diese Integrale berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{a\sqrt x + b} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! (2x+1) \arctan x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! x^2 \sin x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \ln(x^2+a^2)\, dx \end{eqnarray*}$

Dort haben wir sie komplett per Hand berechnet. Was zum Teil sehr umständlich war. Denn man musste zum Teil Partielle Integration, Integration durch Substitution, Polynomdivision etc. kombinieren. Unser Übungsleiter meinte jedoch in der Klausur können wir die Integrale der Formelsammlung entnehmen. Die würden da in jeder guten drinnen stehen oder ließen sich zusammensetzen. Oder so ähnlich.

Nun würde ich gern wissen, Wie das Funktionieren soll. So etwas wie eine Kettenregel gibt es in der Integralrechnung ja nicht so recht, oder? Also, dass ich die Stammfunktion zusammensetze aus innerem und äußerem Integral.

Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.

Viele Grüße

22.02.2010, 18:51

sergej88

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Dein Analogon zur Kettenregel ist hier eben deine Substitution.
Und ich kenne zwar nicht alle Formelsammlung, aber in der Regel sind dort, die wichtigen Integrale enthalten.
Dh, ln,Winkelfunktionen und sowas.

Wenn du Kombinationen auf diese Antreffen solltest, so müsstest du diese erstmal durch die Produktregel bzw. Substitution erstmal soweit vereinfachen, dass dir die Formelsammlung von nutzen wäre.

mfg.

22.02.2010, 19:51

Integrale

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Naja wie kann ich denn z.B. bei diesem die Formelsammlung nutzen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \ln(x^2+a^2)\, dx \end{eqnarray*}$

Wenn man weiß, dass das Integral von ln x gleich x*ln x-x+C ist?

Per Hand müsste man ja als ersten Schritt Partiell Integrieren, Substitution bringt ja nichts, oder?

22.02.2010, 22:16

Abakus

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Zitat:

Original von Integrale
Naja wie kann ich denn z.B. bei diesem die Formelsammlung nutzen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \ln(x^2+a^2)\, dx \end{eqnarray*}$

Hallo!

Der erste Schritt ist vermutlich partielle Integration, ja. Das, was du dort rauskriegst, kannst du dann in der Formelsammlung suchen.

Grüße Abakus smile

22.02.2010, 22:26

Integrale

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Aber das kann ich gar nicht verwenden:
$\begin{eqnarray*} \int \! \ln(x) \, dx =x\cdot \ln(x)-x \end{eqnarray*}$ Und den Rest irgendwie einsetzen?

Partiell dürfte das ja so gehen:

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int \frac{2x^2}{x^2-a^2} dx \end{eqnarray*}$

Das finde ich noch nicht in der Formelsammlung. Also Polynomdivision.

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int 1- \frac{a^2}{x^2+a^2} dx \end{eqnarray*}$

Das 2. Sehe ich ach noch nicht. Und selbst wenn. Dann habe ich ja trotzdem noch die Hälfte per Hand gemacht.

Als unser Übungsleiter das gesagt hat kam das so herüber ala, die ganze Arbeit braucht ihr euch in der Klausur nicht machen, ihr könnt das aus der Formelsammlung holen. verwirrt

22.02.2010, 22:38

Kühlkiste

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"DIE" Formelsammlung gibt es nicht
Der Bronstein kommt dem Objekt Deiner Begierde wohl am nächsten. Allerdings geht der nicht als Formelsammlung durch. (wikipedia.org/wiki/Bronstein-integrabel)
Bevor Du aber eine Art "Suche nach dem heiligen Gral" draus machst, würde ich empfehlen die genannten Verfahren (und vielleicht noch ein paar andere) anhand von Übungen zu vertiefen.

22.02.2010, 22:42

Integrale

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Ich kann die Verfahren. Die dauern halt nur. Deswegen war die Frage, ob es auch schneller geht.

22.02.2010, 22:44

Integrale

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Teubner-Taschenbuch der Mathematik habe ich übrigens da. Das meintest du ja, da schau ich da mal nach.

22.02.2010, 22:45

corvus

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int \frac{2x^2}{x^2-a^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int 1- \frac{a^2}{x^2+a^2} dx \end{eqnarray*}$ geschockt

Das 2. Sehe ich ach noch nicht.

->
1) wo hast du den Faktor 2 gelassen?
2) schon mal was von nötigen Klammern gehört?

$\begin{eqnarray*} ... -\int [2- \frac{2a^2}{x^2+a^2}] dx = -2\int dx + 2a^2 \int \frac{1}{x^2+a^2} dx \end{eqnarray*}$

selbst das erste Integral rechts wirst du notfalls in der Formelsammlung finden smile

und das zweite steht garantiert direkt in jeder Sammlung
also klar, dass:

Zitat:

unser Übungsleiter das gesagt hat

22.02.2010, 22:50

Integrale

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Ups den Faktor 2 habe ich beim Abtippen vergessen. Auf dem Blatt steht er ;-). Und sind die Klammern beim Integral wirklich notwendig? Ich dachte immer das, weil das dazwischen ja durch das Integral und dx eingeschlossen ist weggelassen werden können.

22.02.2010, 22:53

Integrale

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Im Bronstein steht wirklich sogar das erste. Wirklich klasse!

22.02.2010, 22:55

Abakus

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Zitat:

Original von Integrale
Aber das kann ich gar nicht verwenden:
$\begin{eqnarray*} \int \! \ln(x) \, dx =x\cdot \ln(x)-x \end{eqnarray*}$

Direkt wohl nicht. Zumindest fällt mir dazu nichts ein, außer dass es vielleicht einen Hinweis gibt, wie es ungefähr gehen könnte.

Zitat:

Partiell dürfte das ja so gehen:

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int \frac{2x^2}{x^2-a^2} dx \end{eqnarray*}$

Das finde ich noch nicht in der Formelsammlung. Also Polynomdivision.

Im Nenner sollte ein "+" stehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(x^2+a^2)-\int 1- \frac{a^2}{x^2+a^2} dx \end{eqnarray*}$

Das 2. Sehe ich ach noch nicht. Und selbst wenn. Dann habe ich ja trotzdem noch die Hälfte per Hand gemacht.

Hier sollte eine 2 vor dem Integral stehen, und den Integranden musst du klammern. Das Ergebnis sollte in einer Formelsammlung drinstehen, ist aber bei etwas Übung vielleicht auch schon so bekannt.

Zitat:

Als unser Übungsleiter das gesagt hat kam das so herüber ala, die ganze Arbeit braucht ihr euch in der Klausur nicht machen, ihr könnt das aus der Formelsammlung holen. verwirrt

Gut mit einer Formelsammlung umgehen zu können, erspart sicher einiges an Mühe. Das Wichtigste ist dennoch eine Portion gesunder Menschenverstand und etwas Intuition, sowie natürlich die Vermeidung von Rechenfehlern aller Art.

Grüße Abakus smile

PS: einige haben schon etwa dasselbe geschrieben; wie Kühlkiste finde ich auch, mit Übung geht es immer besser Augenzwinkern

22.02.2010, 23:00

Integrale

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Ja im ersten Nenner muss ein + hin. Ebenfalls ein Tippfehler. Aber das man den Integrand klammern muss habe ich wirklich noch nicht gewusst. Danke für den Tipp Freude

22.02.2010, 23:05

corvus

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Zitat:

.... Ich dachte immer ..

wie schreibst du es auf, wenn du die Summe aus a und b mal 3 rechnen willst?
etwa so : a+b*3 oder vielleicht eher so: (a+b)*3 ?

also bei
$\begin{eqnarray*} \int f(x)dx \end{eqnarray*}$ hast du im Integand ein Produkt mit den beiden Faktoren f(x) und dx

und wenn nun f(x) die Form einer Summe hat.. .. Wink

ok?
<

23.02.2010, 02:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Integrale
Ich kann die Verfahren. Die dauern halt nur.

Das mag ja sein. Aber wenn du noch mehr Übung hast, dann gehen dir die Dinger wie nix von der Hand. Da biste evtl. sogar schneller als mit einer Formelsammlung. Zum Beispiel ist es vorteilhaft zu wissen, dass man bei

$\begin{eqnarray*} \int\,\frac 1 {x^2+a^2}\,dx \end{eqnarray*}$

durch die Substitution x = ay zum Arkustangens kommt. Mit ein wenig Übung fällt einem das sofort ins Auge, und man weiß, was zu tun ist.

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