Konvergenzradius bestimmen

22.02.2010, 20:04

Herbertikus

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Konvergenzradius bestimmen

Hallo! Wie gehe ich vor um den Konvergenzradius zu bestimmen?

a) $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty 3*\frac{x^{n} }{Ln(n^{n}) } \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n!*(x+2)^{n} \end{eqnarray*}$

Also die Formel lautet ja:
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Zu a)
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{Ln(n^{n}) } = \frac{1}{n*Ln(n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)Ln(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)Ln(n+1)}{n*Ln(n)} \end{eqnarray*}$ ??

normal würde ich ja durch die höchste potenz von n teilen aber wenn ich hier durch n teile komm ich auch nicht weiter.

Zu b)
Was soll ich da machen? n!*(x+2)^-n ??

22.02.2010, 20:37

Kühlkiste

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RE: Konvergenzradius bestimmen

Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)Ln(n+1)}{n*Ln(n)} \end{eqnarray*}$ ??

normal würde ich ja durch die höchste potenz von n teilen aber wenn ich hier durch n teile komm ich auch nicht weiter.

Du hast keine Idee hinsichtlich der Grenzwerte von

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}n \ \mbox{und} \ \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}~? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Herbertikus
Zu b)
Was soll ich da machen? n!*(x+2)^-n ??

Hier ist $\begin{eqnarray*} a_n=n!. \end{eqnarray*}$

Mach doch einfach das gleiche wie in Teil a.)

22.02.2010, 21:45

Herbertikus

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Zu a) habe ich keine Idee wenn das bis jetzt so richtig war.

Zu b)
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n} } = \frac{0}{1} =0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

lg

22.02.2010, 22:03

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Herbertikus
Zu a) habe ich keine Idee wenn das bis jetzt so richtig war.

Zu b)
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n} } = \frac{0}{1} =0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

lg

Ja!

22.02.2010, 22:11

Herbertikus

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und a ist auch 0?

22.02.2010, 22:24

Kühlkiste

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Dann müsste ja mindestens einer der beiden Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n \ \mbox{und} \ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \end{eqnarray*}$ Null sein.

Welcher könnte das denn wohl sein?

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22.02.2010, 23:01

Herbertikus

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$\begin{eqnarray*} \frac{ln(1)}{ln(1)} \end{eqnarray*}$ ist undef. also wird der rechte teil null sein also ist alles null?

22.02.2010, 23:07

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(1)}{ln(1)} \end{eqnarray*}$ ist undef. also wird der rechte teil null sein also ist alles null?

Nö, das stimmt mal so gar nicht.

Wo steht denn da ln(1)?

Ich sehe nur ln(n+1) bzw. ln(n) und n geht gegen unendlich.

Die richtige Antwort wäre übrigens gewesen: Keiner, beide sind gleich 1.

23.02.2010, 14:41

Herbertikus

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also muss ich nicht durch n teilen im letzten Schritt?
Also so vorgehen wie bei b?
Mir fehlen da die Kenntnisse..ich hab das so verstanden, das man als letzte umformung duch n dividiert..
Wann muss ich das und wann nicht?

23.02.2010, 14:47

klarsoweit

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Du mußt diese Grenzwerte bestimmen:

Zitat:

Original von Kühlkiste
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n \ \mbox{und} \ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \end{eqnarray*}$ Null sein.

Wie du das machst, ist völlig wurscht.

23.02.2010, 15:00

WebFritzi

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Für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 \end{eqnarray*}$ zeige die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \ln(n+1)\le\ln(n) + 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 1 \end{eqnarray*}$

und benutze diese.

23.02.2010, 15:17

Herbertikus

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Also linker Teil:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{1} = 1 \end{eqnarray*}$

rechter Teil:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{n}) }{ln(1)}= \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1)}{ln(1)} \end{eqnarray*}$
Wenn ich mir den Graphen zeichnen lasse im Taschenrechner..dann ist klar das es 1 sein muss.
Ich dachte ich muss immer durch die höchste Potenz von n teilen?

Das von webfritzi versteh ich nicht..da reichen meine mathematischen Fähigkeiten nicht aus.

23.02.2010, 15:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Herbertikus
rechter Teil:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{n}) }{ln(1)}= \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1)}{ln(1)} \end{eqnarray*}$

Mit welchen mathematischen Gesetzen rechtfertigst du diese beiden Gleichheiten? So einen Unsinn habe ich lange nicht mehr gesehen... unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Herbertikus
Das von webfritzi versteh ich nicht..da reichen meine mathematischen Fähigkeiten nicht aus.

Kannst du nicht einmal die Ungleichung zeigen? Tipp: Wende die Exponentialfunktion darauf an.

23.02.2010, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{n}) }{ln(1)} \end{eqnarray*}$

Nach welcher Regel soll das denn funktionieren? verwirrt

verwirrt

Meinetwegen wende l'Hospital an.

23.02.2010, 15:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Meinetwegen wende l'Hospital an.

Den kennt man normalerweise noch nicht, wenn man Potenzreihen betrachtet.

23.02.2010, 16:04

Herbertikus

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{n}) }{ln(1)} \end{eqnarray*}$

Nach welcher Regel soll das denn funktionieren? verwirrt

verwirrt

Meinetwegen wende l'Hospital an.

also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{n \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = ln(n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

so richtig?

23.02.2010, 16:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

verwirrt

23.02.2010, 16:27

Herbertikus

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Herbertikus
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.02.2010, 16:39

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

Diese Antwort wird dich jetzt sehr verwirren. Sie stimmt aber dennoch ...
Schau einmal genau (!) auf das, was du geschrieben hast.

23.02.2010, 17:46

Herbertikus

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ja sorry hab mich verschrieben...die x sind durch n zu ersetzten!

23.02.2010, 17:48

WebFritzi

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Wenn du oben in den restlichen Zeilen auch noch die Variablen anpasst, hast du's.

Aber habt ihr l'Hospital denn schon gehabt?

23.02.2010, 17:56

Herbertikus

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ja hatte ich schon mal

23.02.2010, 17:59

Herbertikus

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Ich danke allen für die Hilfe! Wink

Wink

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