zeige: Funktion ist symmetrisch zu Punkt

22.02.2010, 20:38

Duude

zeige: Funktion ist symmetrisch zu Punkt

Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2x-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie dass K symmetrisch ist zu N(-1/0).

ich weiß nun nicht, wie ich das anstellen könne. Eine anschauliche Lösung wäre die Kurve zu zeichnen, sodass man es sehen kann. Oder man könnte einzelne Punkte untersuchen, ob es für sie gilt (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) Aber auch das stelle ich mir kompliziert vor, ich muss ja eine Gerade durch die beiden zu untersuchenden Punkte legen, die dann auch durch N geht und zeigen, dass der Abstand der beiden Punkte zu N gleich groß ist. Und das müsste ich ja für alle Punkte der Kurve machen...

Ist das so der richtige Weg? Und wie kann ich die Symmetrie für alle Punkte zeigen?

Ich freue mich über jede Hilfe.
Gruß,
Duude

22.02.2010, 20:40

tigerbine

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RE: zeige: Funktion ist symmetrisch zu Punkt
Die Arbeit ist durch die Angabe schon gemacht. Der Symmetriepunkt ist angegeben. nun muss man nur die Formel kennen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%...unktionsgraphen

22.02.2010, 20:52

Duude

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Vielen Dank smile

Das werde ich jetzt gleich einmal nachrechnen

22.02.2010, 21:43

Duude

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hmm, also ich habe da ein Problem beim Ausrechnen. Ich habe meinen Punkt in die Formel eingesetzt und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} f(-1+x)=-f(1-x) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das in die Funktion f eingesetzt und erhalte das hier:
irgendwie komme ich aber nicht auf die gleichen Ergebnisse ( das was ich unterstrichen habe), was ich ja müsste, da ich die Punktsymmetrie zeigen soll..

[attach]13576[/attach]

Habe ich da grundsätzlich was falsch gemacht oder mich nur verrechnet? Ich habs jetzt schon ein paar mal probiert und komme nie auf dasselbe Ergebnis...

22.02.2010, 21:53

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(a+x) - b\, = \, - f(a-x) + b \end{eqnarray*}$

a=-1, b=0

$\begin{eqnarray*} f(-1+x)\, = \, - f(-1-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x-1)=\frac{1}{3}(x-1)^3+(x-1)^2-2(x-1)-\frac{8}{3} =\frac{1}{3}x^3-3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - f(-x-1) =- \left(\frac{1}{3}(-x-1)^3+(-x-1)^2-2(-x-1)-\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3}x^3-3x \end{eqnarray*}$

Passt also. Du kennst nun das Ergebnis, bitte prüfe deine Rechnung noch einmal. Dafür habe ich im Moment keine Zeit. Augenzwinkern

22.02.2010, 22:00

wisili

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@Duude
Bei deiner ersten Rechnung annullieren sich die quadratischen Glieder (ganz am Schluss).

23.02.2010, 11:54

Duude

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oh, jetzt habe ich meinen Fehler gefunden. Gleich an Anfang habe ich einmal a=1 eingesetzt statt a=-1

Hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(-1+x)=-f(1-x) \end{eqnarray*}$

müsste es eigentlich so heißen:

$\begin{eqnarray*} f(-1+x)=-f(-1-x) \end{eqnarray*}$

Und dann komme ich auch auf das Ergebnis, das du angegeben hast. Danke smile

23.02.2010, 12:25

tigerbine

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Bitte.

23.02.2010, 12:53

Kühlkiste

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RE: zeige: Funktion ist symmetrisch zu Punkt
[quote]Original von Duude
Gegeben ist die Funktion f durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2x-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R. \end{eqnarray*}$

Du kannst die Rechnung übrigens wesentlich übersichtlicher halten, wenn Du zunächst mal Deine Funktion faktorisierst:

$\begin{eqnarray*} \frac 13 x^3+x^2-2x-\frac 83=\frac 13(x-2)(x+1)(x+4). \end{eqnarray*}$

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