Integral rückführen auf bekanntes Integral

22.02.2010, 20:47

Johnny2

Integral rückführen auf bekanntes Integral

Hallo,
kann ich das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x-1}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$ so zurück führen, dass es arctan x wird? weil dieser ist ja abgeleitet 1/(x^2+1)

22.02.2010, 20:59

corvus

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RE: Integral ückführen auf bekanntes Integral

Zitat:

Original von Johnny2
Hallo,
kann ich das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x-1}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

so zurück führen, dass es arctan x wird?

genauer: du kannst dein Integral auf zwei bekannte Integrale zurückführen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x-1}{x^2+1} \, dx =\frac{1}{2} \int \! \frac{2x}{x^2+1} \, dx - \int \! \frac{1}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

smile

22.02.2010, 21:14

Johnny2

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Was ist denn das linke für eins? Und wieso hast du das mit 1/2 ausgedrückt. Hätte man das nciht auch weglassen können? Raus kommen sollte bei Substitution was mit ln(...).

22.02.2010, 22:16

Johnny2

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Dann habe ich hier noch so einen Fall:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^2+a^2} \, dx \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 22:24

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^2+a^2} ~\dd x = \frac{1}{a^2}\int~\frac{1}{\left(\frac x a\right)^2 + 1}~\dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du mal $\begin{eqnarray*} z = \frac x a \end{eqnarray*}$ substituieren.

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